Tessellation of unlimited equilateral rhombuses, 無限多種等邊菱形鑲嵌密鋪合成的圖範列, 妙哉! 元宇宙,那看不到的無限,卻可意會之
A variety of equilateral rhombuses can be tessellated into an unlimited (no periodic) two-dimensional plane. Here explains a standard drawing process that an unlimited number of equilateral rhombuses can be Tessellated and extended with an unlimited number of combinations,
Similar rhombus-ltessellation patterns are often observed in biological nature, for example, the stripes of snail shells and the spiral core distribution of sunflower seeds, ‧Similar rhombus can also be seen in the needles of cactus array. If we can systematically understand all the possibilities of the rhombus tessellation pattern, it can be more helpful to understand the taxonomic details of the similarities and differences of biological growth.
wonderful!Drawing a schematic diagram, an invisible infinity has an understandable expected pattern, . Text description boring, it is better to look at the picture and more easier to understand !. Metaverse, the invisible infinite, making a pattern that can be understandable.
If the acute angle of a rhombus is 90/N degrees, and N is an integer, there can be N equilateral rhombus, whose acute angles are integer multiples of 90/N. A (variable standard drawing method. N equilateral rhombus can be inlaid into an infinite pattern of infinite groups (kinds) of combinations. There are three general directions for this kind of drawing rule. N equilateral rhombus can be inlaid into an infinite pattern of infinite groups (kinds) of combinations. This drawing rule deserves further elaboration here.
The first way, parallel arrangement of rhombus diamonds Different rhombus diamonds are arranged parallelly in the same direction, and then repeat themselves in parallel to form an infinite number of groups (infinitely large) patterns.. Different rhombus can be arranged in any order parallelly in the same direction, and then repeat itself in parallel and tessellated to become infinitely patterns.
The second way, some can be rhombus combined into simple polygons first, and then combined into large polygons (the obtuse angle is an integer multiple of 90/N), and then derived into infinite configuration.
The third rule, part of the rhombus can be densely paved into simple polygons, then combined into large polygons (the obtuse angle is an integer multiple of 90/N), and then derived (partially repeated) to synthesize infinite patterns
The fourth rule, which can be densely tessellated into a crescent shape in the sequential order of acute angle size, (with 4N corners and 4N corners) basic-crescent shape shape..-The crescent shape can be tessellated regrouped into different sickle shapes, and then recombined into an infinite spiral configuration.
Meta, Meta ! Least elements, minimal variables, infinite unlimited combinations, unbounded expansion. This kind of drawing rule is worth demonstrating in further detail here.
在生物自然界常觀察到類似菱形的密鋪組合圖案,例如,蝸牛殼的條紋和葵花仔(sun flower seed)螺旋芯( spiral core ) 狀的分佈, ‧仙人掌的針剌也可以看到類似的菱形佈陣。 如果能有系統的瞭解菱形密鋪圖案所有可能性, 可以更有助於瞭解生物的成長異同的分類細節。
筆者曾發表一本小冊,大略的示範(demonstrate)多種不同等邊菱形鑲嵌密鋪成無限大(沒有週期性)的二維平面圖案 ( ref 1, 二維鑲嵌作圖及錯覺圖案製作; two dimensional tessellation art and illusion pattern作者貢中元,鴻林圖書有限公司) 。 這種極少元素( N個等邊菱形 ),極簡變數( 90/N度 ),無限組合,無界衍生(擴展) , 這一種(變化多端的標準的作圖規則,是值得在此進一步詳細說明。文字描述, 枯燥無味,不如看圖會意, 點到為止,更易瞭解。妙哉! 元宇宙,那看不到的無限,卻(有)可意會之(形)。無形的無限，形成了可以理解的模式。繪製示意圖，,一個看不見的無限有一個可以理解的預期圖案. 最少元素，最少變量，無限無限組合，無限擴展。這種繪製規則值得在這裡進一步詳細說明。
如果菱形的銳角為90/N度,N為整數,則可以有N個等邊的菱形,其銳角分別為90/N的整數倍。.一種(變化多端的標準作圖方法,可以將N個等邊的菱形鑲崁成無限多組(種)組合的無限大圖案。。
這有三個大方向的作圖規則。
第一種規則, 菱形平行排列
不同菱形作同方向的平行排列, 然後再自行平行重覆而變成無限多組(無限大)的圖案。
二種規則 放射狀組態
部份菱形可以先密鋪合成簡單含有一個90角的組態,再組合成360度組態, 然後再用第一種平行排列規則,衍生合成無限大的放射狀圖案
第三種規則, 部份菱形可以先密鋪合成簡單的多角形,再組合成(鈍角為90/N的整數倍的) 大型多角形 , 然後再衍生(部分重複 )合成無限大圖案
第四種規則,可以依銳角大小秩序,密鋪鑲嵌成一個新月形,(有4N個角邊和4N個邊角的)基本-新月形(crescent shape shape) 。-新月形可再編組成不同的鐮刀型, 然後再組合成無限大的螺旋紋組態。
圖 1 , 五個等邊菱形
這裡採用N等於5的情況為便於說明. N為5的五個銳角分別是18,36.54,72,90度, 如圖 1 , 所示.
第一種規則 任意平行組合排列.
最簡單易懂, 5個等邊的菱形任意的同方向的平行排列, 如(圖 2) 所示, 這種組態是可以左右半對稱的, 但不是四方位的對稱。讀者可以進一步的將任意菱形按照此密鋪規則衍生到無限大。(圖 2) 簡單平行排列範例,
第二種規則 放射狀組態
部份菱形可以先密鋪合成簡單含有一個90角的組態,再組合成360度組態, 然後再用第一種平行排列規則,衍生合成無限大的放射狀圖案 (圖 2a) 放射狀組態範例 
第三種規則 積木式的堆疊
第三種規則是比較傳統的從小塊往大塊積木式的堆疊。 圖 3 是基本的多角形範例。 基本的多角形可以堆疊成一個有部份重疊的多角型, 然後可再組合成更大型而至無限大的多角形。如圖 4,所有邊角都必然為18度(最小銳角)的整數倍。可以堆疊成四重對稱型,但是難度較高。
第四種規則 新月迴旋式密合
第四種規則最有創意 ; 所有菱形依銳角大小平行依序排列, 如(圖5 )是一個組成新月形的範例。此一新月形圖有2個18度銳角和18個162度邊鈍角,以及20相同長度的角邊。最小銳角和所有的新月形邊鈍角相加,必須為180度。 N可以為1,2,3,4,5....到無限大, 90/N可以是無盡小數。 (N等於無限大時,新月形的銳角是零,其他鈍角都是180度, 此時新月二根曲線愈趨近成一個半圓圈.)。
(圖 3 ) 基本多角型,
(圖4 ) 較大型的各種等邊多角形的編製。
(圖5 ), 此新月形圖有2個18度銳角和18個 162度邊角,以20相同角邊。
鐮刀狀的組態 
兩個或多個基本的新月形狀可以相對迥轉最小銳角的整數倍,然後相互密(貼)合成各種不同鐮刀形狀的組態,如圖 6所示。
(圖6 ) 鐮刀形狀的組態範例
上圖中不同組態的鐮刀形狀的組態, 可以再擴大編組成圓形,橢圓形或環形組態,如圖 7所示。環形中空處, 有時可以完美的填充一個適當的多角形。
(圖7 ) 圓形橢圓形或環形組態
不一定要五個菱形組成 (最小銳角18度的整數倍) 新月形, 二個,三個 或四個部份的等邊菱形亦方組成銳角不同的新月形, 這些新月型都可以用螺旋迥轉法形或不同鐮刀形組態, 如圖 8 所示。 這些小小的組態變異,有助於最後圖案的多樣性,使讀者更容易理會所謂的無限組合內涵。
這一些組態可以再進一步的組合成特定型式的二維鑲嵌密鋪圖案。衍生到無限大的組態有許多方法,最有秩序的方法就是任意找一個多邊形為核心, 然後用新月形依序相鄰密鋪衍生到無限大, 見圖9範例。。
(圖 8 ) (圖 9 )
(圖 1 0) 特定型式的二維鑲嵌密鋪圖案.
以葵花仔(sun flower seed)螺旋芯( spiral core)為核心,第一環(first ring) 的製作,.如圖 1 0 所示。用相同的步驟,可以衍生出第二環,第三環,以致於無限多個同心環。
葵花仔(sun flower seed)螺旋芯( spiral core)核心是四維對稱的, 可以用加長的新月形, 環抱衍生成無限大的圖案, 可以製成無限大的四維對稱圖案。如圖11 所示, 可以在適當環抱過程中加不同的菱形。加了不同的菱形而成加長的新月形
一些未完成的組態,顯示作圖的多樣性,趣味性,藝術感. 以及圖案詨計的可能. 
貢氏 (可衍生到無限大的)單位晶胞 很容易看到趨往無限
大的規則 
問蒼天, 還有幾何, 蒼天回問 今生如何,
僅此一生 能期,其能, 豈能幾何
又問蒼天, 餘生如何,
蒼天禪云, 如此一生 還要如(幾)何,
再問蒼天 還有幾何
無言禪語, 幾何(復)幾何, 只有幾何,, 還在幾何
元宇宙兮 無限幾何
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敢向夕陽借晚照 自信則強期不息
且向夕陽竊晚照 自信則強豈不息
且向夕陽乞晚照 自信則強祈不息
面向夕陽留晚照 自信則強其不息
敢向夕陽借晚照 自信則強乞不息
以N為2,最小銳角為45度為例,45,90 等邊的二個(銳角差為90/N,45度)菱形鑲合成基本月形(moon like shape)及不同組態, 最後形成最小的對稱核心晶胞。
(smallest symetric configuration) 的過程如下, 如(圖2),
Fig . 說明作圖多樣性.此類亦可擴展到無限大並衍生無限組組合
Fig 對稱型組態合成
Fig 非對稱型組態合成
以N為2, 45,90 等邊的二個菱形鑲嵌第一環的合成過程,如(圖3)
The synthesis process of inlaying the first ring with two rhombuses with N as 2, 45,90 equilateral, as shown in (Figure 3) 迴旋型
,以N為2, 45,90 等邊的二個菱形鑲嵌合成第二環的過程
如(圖4),The synthesis process of inlaying the second ring with two rhombuses with N as 2, 45,90 equilateral, as shown in (Figure 4)
以N為3, 30,60,90三個等邊菱形鑲合成的彩色圖 (左) 核心和第一環形成圖, (右) 核心和第一,第二,第三環形成圖。
fig 7 A color picture composed of three equilateral rhombuses with N as 3 ,acute angle of 30, 60, 90 (left up) form a picture with the core and the second ring,
(left down)the first and the third ring (rightup ) the core and (right down ) the center,first, second, and third rings you will see that the
structures destined to become seeds grow in an intricate pattern of interwoven
spirals.
Read more: https://www.newscientist.com/article/mg13418173-200-science-sunflower-spirals-obey-laws-of-mathematics/#ixzz7H5JECAyV
以N為6,最小銳角為15度為例,基本月形如下 (圖5),
Taking N as 6, the smallest acute angle 15 degrees as an example, the basic moon shape shown as follows (Figure 4), 非對稱型組態合成
15, 30, 45, 60, 75, 90依序緊密鑲嵌 ,(銳角差為90/N,15度) acute angle of 15, 30, 45, 60, 75, 90 rhombuses are inlaid tightly in sequence, (acute angle difference is 90/N, 15 degrees)
image
(圖 5 ) 15, 30, 45, 60, 75, 90 依序緊密鑲嵌成基本月形組態
acute angle of 15, 30, 45, 60, 75, 90 rhombuses are closely embedded in sequence into a basic lunar configuration
image
(圖 6 ), 基本月形組態做15度旋轉,契合為更大的組態,依循相同規則,製作不同的環圓,可延伸到無限大
(fig 5) two basic moon like configuration rotated by m X 15 degrees(m times 15 degree) to fit each other into a larger configuration.
Follow the same rules to make different circles, which can be extended to infinity
(圖 6), 基本月形組態,以60度旋轉契合成另一系列的圖形
(圖 9), N為 5 ,最小銳角為18度的作圖 fig 8 where N is 5 and the smallest acute angle is 18 degrees
類似 三蒲公亮概念摺疊式的二維密鋪
蟬翼脫殼的展翅变化, 三蒲公‧亮 摺疊?這種摺成一個小方塊的紙, 打開後就有都1辦出略似三D狀況的二D平面 , 如下圖想表示的可以是任何二個菱形形戍的三蒲公‧亮 摺疊圖.
90 75 60 三 個 菱形
atom structure in atomic layer may be formed by this way 銳角菱形 89.5度與正方形的 , if ,,,
Virtual or real
自古以來,凸正多邊形歐幾里德平面圖案被廣泛鑲在地磚, 牆壁畫, 透明窗飾上。開普勒(Kepler)在他Harmonices Mundi（拉丁語：世界的和諧，1619）( Ref 1),就曾經做有系統的數學處理. 這种古典幾何到了二十世紀(1974) 又有重大突破, Penrose找到了二個菱形狀可以鋪滿整個平面的拼圖方式, 所謂的Penrose拼圖 (Penrose Tiles). 1982年自然界也找到長程有序並含有五重對稱性的準晶,可利用到Penrose tile的作圖概念解釋 .
筆者嚐試用(相同邊長)正方形與不同角度的菱形鋪成無限多的二維,密鋪組態‧在此,我們發表一個虛擬的晶体組態, 嚐試比照晶体學的基礎概念,找出原始晶胞(Primitive)‧規範了一些規則, 看看可否更瞭解這類虛擬晶体結構..,並嚐試討論其製作成實質晶体可能性.
數學上,菱形(60度)與正方形(Diamond-Square )可以無縫鋪滿二維空間,如圖 1 所示.(正菱形有其他定義)銳角為60度菱形. 菱形與正方形的邊長皆為1.
gga00xp103 op IMG_14hk
他上述幾何結構中,每個交點有一個分子(原子),與鄰近的分子有四根鍵相連. 可視為一個晶体crystallline , 原始晶胞晶為正方形 , 如圖 藍色塊區,(只能用平移,來鋪滿二維) a1 = a2=√2(√3 -1)/2, 其倒晶格亦為正方形,邊長為b2=b1=2丌(√3 + 1)/√2 . 原始晶胞內 的元素可以是同一種四面体共價原子 ( 例如C,Si, Ge...)可以無縫填滿二維晶体. 也可以是二種不同的原子組成.如果0與 3,或1與4的分子的極性方向相反,亦可成立.圖中箭頭v指出分子極性方向.
但是Diamond-Square 2-D structure, 幾何上非完全對稱,每個晶胞裡60度角的地區電荷密度較大,120度角的地區,電荷密度較小, 在電荷上有不對稱性. 因此,在交點上的分子,應該具有偶極(dipole)的特性? 菱角上(60度)的原子(或)分子,須構成一個傾向菱形中心的偶極(dipole). 具有高離子性(dipole)的四面体共價鏈(鍵)為元素,例 SnC,GaN, InN,ZnO,CuO,AgO,CeO,或EuO...),在電荷分布上可以相對平衡的..而且任何鄰近的二個(或上下二層)分子的極性正好不同.
在此以SnC的分子為例,雖然同為四價,但由於Sn的原子半徑(1.40A)有C的半徑(0.77A)兩倍大,因此負電荷舍稍微偏往小原子而產生偶極.
以一個SnC 分子為中心點, Sn需向鄰近(上,東,南)的C借三個電子,C需向鄰近(下西北)的Sn借三個電子,
以滿足八隅的需求,one example 示意圖如下,
ggg00xp103 op IMG_14hkg3x
如果可以製作出週期性的高密度偶極電子區,電子對可能在週期的晶格內,沒有阻力的前進.(不成偶的單一電子,自旋方向不同, ...)
由於現代單原子層沉積(single layer atomic layer deposition)技術己臻成熟‧製作一維特性的 (玄体,inter layers are bonged by Van der Waal force))晶体, 且具有極性結構,而且任何鄰近的二個(或上下二層)分子的極性正好不同,是有能的. 特殊的電磁特性,是值得期待的 . 最有可能具有此stressed 結構的single layer 材料是稀土過渡大原子金屬氧化物,
It could be a single layer Layer to layer bonded by Van der Waal force.
是個虛晶 (Pseudo crystalline, unless you can make it)
.eed00xp103 op IMG_14hdg
這是藝術...,看到分子的極性 ???
Ref: Euclidean tilings by convex regular polygons
From Wikipedia, the free encyclopedia
(Redirected from Tiling by regular polygons)
之宇宙
這篇文章的標題是有一點超越-一般認知, 超越了形=,二上, 卻是一個有形的無限, 是一個可以想像到的無、限`,
一一元宇宙的概說
元者「第一也, 元首也, 起初之謂也! 」宇宙, , 「四度時間空間包括其內容物構成的統一体」, 這些構成物當然也包括所有可以感官到的實体, 和意識到的虛擬物? 這種定義是‧相當的meta
verse；韻文；詩節 . 作詩 .；詩歌，詩篇 .詩節，詩句，詩行，詩作,
v. (動詞) 1.作詩，寫成詩 vt. 詩化；
meta劍橋詞典的中文翻譯i「寫作或表演作品, 自身的‧相類的」（寫作或表演作品）自身的，同類的, meta「後設, 源自希臘字根, 意‧思是之上之外三閭,,, 追而廷伸為有變化的‧超出一般限制, 簡單的說, 超超越理解範圍的. 數學上. 空間無限大, 物理無件無限多, 無限變化的組合, 是否超越時間的…真不敢訖,
「元宇宙」的英文來源 meta verse
meta-前綴 ,源於希臘語前置詞與前綴「μετά」，意思是「之後」、「之外」、「之上」、「之間」（介詞的一些意涵是以格做區分的），進而延伸為「有變化的」、「超出一般限制的」之意。[1]
若物理上的現象是目前科技所無法理解的，便稱為「形上學」，英文為「metaphysics」，是「physics」（物理學）的「後設」學問，也就是指「超越」物理學的學問。
維基百科 元宇宙（英語：Metaverse），或稱為後設宇宙、形上宇宙、元界、超感空間、虛空間、魅他域。關於元宇宙的討論，主要是探討一個持久化和去中心化的線上三維虛擬環境。[3][4]此虛擬環境將可以通過虛擬實境眼鏡、擴增實境眼鏡、手機、個人電腦和電子遊戲機進入人造的虛擬世界。
Metaverse（Metaverse），Meta表示「超越」、「元」， verse表示「宇宙、universe」。這個概念最早出現於30年前的科幻小說《潰雪》。在書中，Metaverse就是個平行於現實世界的虛擬數位世界，人類在現實世界擁有的一切在這個虛擬數位世界裡都可以實現，人類在現實世界無法完成的事情也可以在這個數位虛擬世界裡完成。 關於這個名詞過去至今的翻譯，包括「元宇宙」、「元界」、「超感空間」都有。
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元宇宙 最極↓小的元素, 最少的變數, 最大的組合…. -Metaverse The smallest element, the least variable, the largest combination…..
(C) 張繼昆 陳力宇 陳永睿 江偉濤 朱孔昭
(H) 何宏澤 傅慧行 傅盤銘 洪宏昌 黃初平
(J) 卓台光
(L) 廖國賢 林文釗 林武吉 林聰明
(K) 康弘義 金明明 龔肇隆 貢中元
(T) 蔡民雄 蔡民喜
(W) 王大成 王道行 魏大生 魏寧燕 吳永康.
林仰是 余培瑜
(張明澤 余國傑 董曾禧 高聰慧, )
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