自古以來,凸正多邊形歐幾里德平面圖案被廣泛鑲在地磚, 牆壁畫, 透明窗飾上。開普勒(Kepler)在他Harmonices Mundi（拉丁語：世界的和諧，1619）( Ref 1),就曾經做有系統的數學處理. 這种古典幾何到了二十世紀(1974) 又有重大突破, Penrose找到了二個菱形狀可以鋪滿整個平面的拼圖方式, 所謂的Penrose拼圖 (Penrose Tiles). 1982年自然界也找到長程有序並含有五重對稱性的準晶 .

筆者嚐試用(相同邊長)正三角形與正方形鋪成無限多且(相當任意)隨機的二維tiling組態, 我們只發表幾個特殊涵週期性組態, 並應用晶体學裡的unit晶胞(Cell)概念, 嚐試比照晶体學的基礎概念,找出unit晶胞‧ 看看可否更瞭解這類虛幻的晶体結構..

用相同邊長為1的正三角形與正方形可以形成四種突邊(Convex)環狀組態, 如圖 1, a,b,c,d. 這圖1a有四重(90度)對稱性, 單位面積內, 週邊長度最低,.....,圖1b 及c 有双重(180度)對稱性 圖1d 則有六重(60度)對稱性,其連綫密度最高‧

這四種基礎組態可以部分重合, 有週期重複性鋪磚圖樣. 其二維週期為. n + m√3/2 , n. and m 為整數,

單用圖 1a或 1d 組成只是簡單週期的正方形或正三角形‧ 其中正方形是綫條密度最低和正三角形是最高的鋪磚圖形.( 一般情形, 綫條密度大, 鋪工最貴, more expensive for tiling if the line density of is higher)

如果單用圖1c的組態, 則組成一維的不同無理數週期圖案, 如圖 2 所示, 具週邊綫長與面積比介於之間,...不一樣. 其週為 na + mb, a = 1, b為 = √3 /2,

k 3-3-3-4-1 k 3-3-3-4-1a

如果只單用1 b 的組態, 只能產生下列一種,每個頂點(vertex)都由五根等距的綫條連接的組態. 如圖3所示. 如果把二個三角形的鍵拿掉,就可以看成由一個正直角菱形和一個正三角菱形組成的組態 .

圖3, 中綠色正方形部份是unit晶胞, 邊長為 1 +√3,總面積等於四個正方形加六個正三角形,(橫軸與縱軸的週期比為 1)有四重對稱性,可以平移 and 反射(reflect )來覆蓋整個平面. 其晶胞面積與右下紫色面積相同. 是四個正方形加六個三角形的組態‧

g0000fuigq op IMG_1s 圖 3

更小的unit晶胞(只能用平移,來鋪滿二維) a1 = a2=√2(√3 -1),如紫色部份, 總面積等於2個正方形加4個正三角形

用 1b 及 1d, 亦可組成另一組態, 如圖4所示. 圖4中,矩形橘色部份為unit組態,橫軸unit為 3 + √3, 縱軸unit為 1 + √3. 此組態單位面積綫條最密 ,橫軸與縱軸的邊長比為√3. 總面積等於六個正方形加十二個正三角形, 其面積比右邊的圓型多出四個三角形. 右上三角形, 其面積更小, 但無法平移而全面覆蓋(需要倒轉對稱的另一半)

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