貢氏晶胞(Kung's unit Cell)
貢氏晶胞(Kung's unit Cell)CYkung,歐普藝術
作圖動機
自古以來,多邊形歐幾里德平面圖案被廣泛鑲在地磚, 牆壁畫, 透明窗飾上。正三角形與正方形可隨機鋪成無限多個無週期性(或類週期性)的組態(二維tiling) 。筆者嚐試用在此, 找到二种有週期性的基本組態, 並比照晶体學裡的最小單位晶胞(unit cell)概念, 找出了一些規則,看看可否更瞭解這類虛幻的晶体結構。
二維組態圖案範例
圖一, 圖二顯示二種有週期性的二維組態, (網上也以找到的);
圖一組態的最小晶胞, 以淺藍顏色表示: 淺藍色區二維的長度都是, (1+√3)/ √2, 晶胞總面積等於二個正方形加四個正三角形(其形狀數量比為2:4), 二維倒晶格長度都是2兀(√3一 1)/√2 。
*[藍色區二維的長度都是, 1+√3, 晶胞面積等於四個正方形加八個正三角形,倒晶格長度為兀(√3一 1), 藍色區似乎不是最小單位, 特註於此]。
圖一
圖二
圖二組態綠顏色區二維的長度分別為3十√3, 和l 十√3, 晶胞面積等於六個正方形加十二個正三角形(其形狀數量比為6比12), 其倒晶格長度分別為兀√3一 1)/ √3, 和兀(√3一 1)。
是否單位面積更大的晶胞二維組態是什麼狀態? 圖三是一個嘗試中的未完成作圖。其橘色晶胞面積是(詫異的)七個正方形加二十個正三角形(7:20)。 讀者或許己觀察到晶胞面積更小的組態(其形狀數量比為5:12), 見黃色晶胞。
圖三
目前可以畫出無限大的二維單位晶胞圖形, 週期為無限1. 如圖四, 圖五,二個圖案, 其倒晶格為一個奇異點(0,0) . 到目前, 尚不知有人曾經如此作圖,, 故暫時沽其名為貢氏晶胞(Kung's unit Cell) 。其二維構圖中,正方形與正三角形的數量比都趨近(等)於1比2。
圖四
圖五
結論: 作者在此嚐試用二种有週期性的基本組態, 並比照晶体學裡的最小單位晶胞(unit cell)概念, 找出了一些規則, 並延伸出邊長無限大的貢氐晶胞。
REFERENCES:
Ghyka, M. C. The Geometry of Art and Life, 2nd ed. New York: Dover, 1977.
Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.
Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, 1991.
Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. New York: Dover, 1979.
Kittel, C. Introduction to Solid State Physics,
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