Four way symmetric tiling and its unit cell, (P 3)chung yuan Kung－貢中元的部落格

Four way symmetric tiling and its elementary unit cell (paper 3)

製作四向對稱平鋪及其基本晶胞 The formation of the four-way symmetric translational tiles (crystal) and corresponding unit cells

眾所周知，彭羅斯瓷磚具有非週期性的基本特徵。彭羅斯拼貼可能同時具有反射對稱性和五重旋轉對稱性，但缺乏平移對稱性。有了這樣一個著名的（和授權的）五重旋轉對稱聲明，作為公認的彭羅斯瓷磚的特徵，似乎沒有人會相信四方向對稱的彭羅斯瓷磚是可能的。據我所知，甚至沒有研究人員嘗試繪製四向對稱彭羅斯瓷磚。（這裡要注意，四向對稱其實不是四重對稱），這裡只是說從中心點開始，在所有四個方向上，瓦片的行為都是一樣的，都是上下體現對稱，還有左右對稱，但不能叫四重旋轉對稱。四重旋轉對稱定義為瓷磚在旋轉 90 度後恢復到原來的形狀。在這篇

Four way symmetric tiling and

我對這六個十邊形的穩定性順序有不同的安排，如我之前博客中的帖子預測穩定性或（或不穩定性）的模型是基於邊緣鍵數和外部磚型（菱形）的數量, have different arrangement of the stability order of these six decagons as post in my previous Blog, a model to predict the stability or (or unstability) is based on the edge bonds numbers and numbers of outside Brick-type (Rh

由於眾所周知 Penrose tiles 具有一個基本特徵，即 Penrose tiling 是非週期性 tiling 的。在這裡，平舖是非重疊多邊形或其他形狀對平面的覆蓋，如果不包含任意大的周期性區域或補丁，則平舖是非週期性的。有了那些關於 Penrose tilings 廣為接受的特性的著名陳述，據我所知，Penrose tilings 甚至沒有人嘗試使用六個十邊形的任意組合來構建上下對稱和從右到左 180 度

然而，儘管缺乏平移對稱性，彭羅斯拼貼可能同時具有反射對稱性和五重旋轉對稱性。有了那些關於公認的彭羅斯瓷磚特性的著名陳述，似乎沒有人敢嘗試四塊方向不對稱的彭羅斯瓷磚。（在這裡，四個方向並不真正意味著四倍）在這裡它意味著上下對稱，並且從左到右旋轉對稱 ,有了那些關於公認的彭羅斯平鋪特性的著名陳述，就我對倫羅斯平舖的了解而言，甚至沒有人嘗試使用任何組合繪製上下對稱和從右到左 180 度旋轉對稱彭羅斯平舖的平鋪

我們可以製作由a型、b型、d型、e型十邊形組成的圓形 (pentagonal) 彭羅斯瓦片，每邊三個十邊形。在x方向上 and y方向上應用鏡像耦合，然後應用平移耦合產生大的彭羅斯平鋪，如圖 4 所示。雖然它包含一個標記為深灰色未解決的缺陷，它仍然是傳統的典型彭羅斯瓷磚。可以很容易地從圖 4 中提取一個基本單元，如圖 5 所示。晶胞的鑲嵌顯示出四重對稱的彭羅斯平鋪，如圖 6 所示。最有趣的發現是，正如最後的圖 7 所示，圖 1 中的這種配置可以是無限的自平移耦合

Since it was well known that Penrose tiles has a fundamental characteristic that A Penrose tiling is an example of an aperiodic tiling. Here, a tiling is a covering of the plane by non-overlapping polygons or other shapes, and a tiling is aperiodic if it does not contain arbitrarily large periodic regions or patches. However, despite their lack of translational symmetry, Penrose tilings may have both reflection symmetry and fivefold rotational symmetry. . Gardner, Martin (January 1977). "Mathematical Games". Scientific American. 236 (1): 111–119. Bibcode:1977SciAm.236a.110G. doi:10.1038/scientificamerican0177-110.with those famous statements about the well believed Penrose tiling Characteristic, no body seems dare to try four directional asymmetric Penrose tiles. ( Here, four direction does not really mean four fold) here it mean UP SIDE DOWN SYMMETRY, AND LEFT to RIGHT ROTATED symmetric

Gardner, Martin (1988). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. W H Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-1987-8.
Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (2023-03-19). "An aperiodic monotile". arXiv:2303.10798 [math.CO]. Penrose tilings may have both reflection symmetry and fivefold rotational symmetry. . Gardner, Martin (January 1977). "Mathematical Games". Scientific American. 236 (1): 111–119. Bibcode:1977SciAm.236a.110G. doi:10.1038/scientificamerican0177-110.

根據我以前繪製不同類型彭羅斯瓷磚的經驗,觀察到可以製作四向對稱彭羅斯瓷磚，如下所述。我們可以從如圖 2 所示的彭羅斯瓷磚, 是由 a 型、b 型、d 型、e 型十邊形、四個十邊形組成的圓形彭羅斯瓷磚開始，。使用在圖 2 中的瓷磚上沿 x 方向應用鏡像耦合,產生如圖 3 所示的鏡像對稱瓦片，然後在 y 方向對圖 3 中的瓦片應用鏡像耦合後，結果如圖 4 所示，隨後是使用圖 4 中瓦片的平移耦合, 結果如圖 5 所示，產生了一個大的 Penrose 瓷磚。人們可能會注意到，圖 5 中標記為深灰色的菱形不屬於任何十邊形，Kung 使用限制定義將其視為缺陷。在這裡，作者使用嚴格的規定（定義）將其視為缺陷。但是，它仍然是傳統上典型的標準零缺陷彭羅斯瓷磚。從圖5中可以很容易地提取出一個基本單元，結果如圖6所示。四方向對稱的Penrose tiling，如圖6所示……仔細觀察，這個單元格在四個方向上是對稱的，這個單元格的鑲嵌顯示了一個四向對稱的彭羅斯拼貼，如圖 7 所示。最有趣的發現是，圖 1 中的這個彭羅斯拼貼可以自行擴展平移 - 耦合無限,結果如圖 8所示. 結果是,這個單元格的鑲嵌顯示了一個四向對稱的彭羅斯拼貼，如圖 7 所示。最有趣的發現是，圖 1 中的這個彭羅斯拼貼可以自行擴展平移 - 耦合到無窮大，如圖 8所示. 不幸的是，圖 8 中的瓷磚可以在無窮遠處以感知結構延伸到無窮遠，而它既不是五重對稱也不是鏡像對稱。因此不能按常規定義稱為彭羅斯磁貼。