Tessellation of unlimited equilateral rhombuses,using five rhombuses as example,貢中元 cykung無限多種等邊菱形鑲嵌密鋪合成的圖範例給高中生看的－貢中元的部落格

Tessellation of unlimited equilateral rhombuses,using five rhombuses as example 無限多種等邊菱形鑲嵌密鋪合成的圖案範例 (以五種菱形作園)

A variety of equilateral rhombuses can be tessellated into an unlimited (no periodic) two-dimensional plane. Here explains a standard drawing process that an unlimited number of equilateral rhombuses can be Tessellated and extended with an unlimited number of combinations,

Rhombus-like close-packed combination patterns are often observed in nature, for example, the stripes of snail shells and the spiral core-like distribution of sun flower seeds. If we can systematically understand all the possibilities of the rhombus tessellation pattern, it can be more helpful to understand the taxonomic details of the similarities and differences of biological growth.

least elements, minimal variables, (infinite) unlimited combinations, unbounded expansion. This kind of drawing rule is worth demonstrating in further detail here.

類似菱形的密鋪組合圖案在生物自然界常被觀察到看到, 例如,蝸牛殼的條紋和葵花仔(sun flower seed)螺旋芯( spiral core ) 狀的分佈。如果能有系統的瞭解菱形密鋪圖案所有可能性, 可以更有助於瞭解生物的成長異同的分類細節。

筆者曾發表一本小冊,大略的示範(demonstrate)多種不同等邊菱形鑲嵌密鋪成無限大(沒有週期性)的二維平面圖案 ( ref 1, 二維鑲嵌作圖及錯覺圖案製作; two dimensional tessellation art and illusion pattern作者貢中元,鴻林圖書有限公司) 。這種極少元素,極簡變數,無限組合,無界衍生(擴展) 一種(變化多端的標準的作圖規則是值得在此進一步詳細說明。文字描述, 枯燥無味,不如看圖會意,更易瞭解。繪圖示意, 點到為止。妙哉! 元宇宙,那看不到的無限,卻有可意會之形。

如果菱形的銳角為90/N度,N為整數,則可以有N個等邊的菱形,其銳角分別為90/N的整數倍. 一種(變化多端的標準作圖方法,可以將N個等邊的菱形鑲崁成無限多組(種)組合的無限大圖案。這種作圖有三種規則。 If the acute angle of a rhombus is 90/N degrees, and N is an integer, there can be N equilateral rhombus, whose acute angles are integer multiples of 90/N. TheSE rhombus CAN BE TESSELLATED sides BY SIDE TO form an infinite pattern of UNLIMITED (kinds) of combinations.

There are three kinds of SCHEMES for this kind of drawing.

第一種規則, 菱形平行排列型, 不同菱形作同方向的任意平行排列, 然後再自行平行重覆而變成無限多組(無限大)的圖案。

第二種規則, 中心放射型, 部份菱形可以先密鋪合成簡單的‧含有90度角的圖案‧-‧然後再組合成中心放射狀的組態, 再放射成無限大密鋪圖案

第二種規則, 部份菱形可以先密鋪合成簡單的多角形,再組合成(邊角90/N的整數倍的) 大型多角形 , 然後再衍生合成無限大圖案

第三種規則,可以依銳角大小秩序,密鋪鑲嵌成一個新月形,(有4N個角邊和4N個邊角的)基本-新月形(crescent shape shape) 。新月形可再編組成不同的鐮刀型, 然後再組合成無限大的螺旋紋組態。

這裡採用N等於5的情況為便於說明. N為5的五個銳角分別是18,36.54,72,90度, 如圖 1 , 所示.

第一種走法任意平行排列型.

最簡單易懂, 5個等邊的菱形同方向的任意平行排列, 這種組態是可以左右半對稱的。

(圖 2) 簡單平行排列範例,

第二種規則, 中心放射型

第三種規則積木式的堆疊

第種走法比較傳統, 從小塊往大塊積木式的堆疊。圖 3 簡單基本的多角形範例, 基本的多角形可以堆疊成一個有部份重疊的多角型。再組合成更大型的多角形, 如圖 4,所有鈍角都必然為 18度的整數倍。可以堆疊成四重對稱型,但是難度較大

(圖 3 ) 基本多角型, ,

(圖4 ) 較大型的各種等邊多角形的編製。

第三種規則新月迥旋式的密合

第三種規則最有創意 (圖5 )是一個新月形的範例。 N 為5 時,此一新月形圖有2個18度銳角和18個162度邊飩角,以及20相同長度的角邊. ( N ,越大新月二根曲線愈趨近成一個半圓圈)。

(圖5 ), 此新月形圖有2個18度銳角和18個 162度邊角,以及20相同角邊。鐮刀狀的組態

兩個或多個基本的新月形狀可以相對迥轉最小銳角的整數倍,然後相互密(貼)合成各種不同鐮刀形狀的組態,如圖 6所示。最小銳角和所有的新月形邊鈍角相加,必須為180度. N可以為1,2,3,4,5....到無限大, 90/N可以是無盡小數。.

上圖中不同組態的鐮刀形狀的組態, 可以再擴大編組成圓形, 橢圓形或環形組態,如圖 7所示。環形中空處, 可能可以完美的填充一個適當的多角形。

(圖7 ) 圓形橢圓形或環形組態

部份的等邊菱形亦方組成銳角不同的新月形, 這些新月型都可以用螺旋迥轉i法形或不同鐮刀形組態, 如圖 8 所示 這些小小變異的組態有助於最後圖案的多樣性, 使讀者更容易理會所謂的無限組合內涵 這一些組態可以再進一步的組合成特定型式的二維鑲嵌密鋪圖案。衍生到無限大的組態有許多方法, 最有秩序的方法就是任意找一個多邃形為核心, 然後用新月形依序相鄰密鋪 (圖 9 )。以葵花仔(sun flower seed)螺旋芯( spiral core )為核心,第一環(first ring) 的製作如圖 1 0 所示。用相同的步驟,可以衍生出第二環,第三環,以致於無限多個同心環。