摘要
1982年，Dan Shechtman 教授首次觀察到具有十方向對稱的電子透射衍射圖像（如圖1所示），並於1984年正式發表（參考文獻1）。這種展現五重旋轉對稱性的晶體結構，被稱為「準晶體（quasicrystal）」，是一個困擾物理界超過40年的難題，至今仍未被完全理解。事實上，早在1999年（參考文獻2）便有報導指出，研究人員已成功發現尺寸約2毫米的十二面體三維準晶體（參考文獻6）。那麼，我們是否該稱其為「固態晶體」呢？
早在1974年（參考文獻3），彭羅斯（Penrose）先生便提出一種使用兩種不同角度（36°與72°）的菱形瓷磚進行無縫鋪排的方法。這種具備五重旋轉對稱性與鏡像對稱，但缺乏平移對稱性的平鋪方式，後來被命名為「彭羅斯平鋪」。Steinhardt and （參考文獻4,5）是第一位提出準晶體與Penrose平鋪圖具有密切關聯的學者。他指出兩者皆具有非週期性且有序的旋轉對稱結構，而這一特性可以透過高解析度電子顯微鏡（HRTEM）觀察到的十方向對稱衍射圖樣來理解。
因此，過去40年間，許多研究者一直相信三維準晶體的非週期結構與二維的彭羅斯平鋪之間存在深刻的幾何與物理關聯。這種關聯性是否能成為揭開準晶體物理機制的關鍵，值得深入探究。但是在上世紀末期，個人電腦尚未普及，繪圖軟體亦不成熟，使得彭羅斯平鋪的應用與可視化受到侷限。當時多數研究僅能集中於局部原子團簇的五重旋轉特性與原子排列的局部結構分析(模擬的相關原子數少於100個原子)，限制了大範圍的原子位點排列在HAADF STEM下觀察到的與彭羅斯圖樣之間的系統性比較(點匹配的相關原子數超過500個原子), 。
雖然彭羅斯瓷磚已被發現超過五十年，但是並不能夠很容易的畫出大圖案。約在三年前，我們從六種不同的十邊形（同構）結構耦合開始，成功建構出可大面積鋪排的彭羅斯平鋪圖。透過比對多張電子顯微鏡下的原子陣列影像與我們設計的大型彭羅斯圖，我們專注於五邊形特殊聚合圖案的幾何對應關係。經過反覆測試與調整，我們最終取得了具有高度一致性的圖像比對結果，並值得在此報導。
我們使用正十二面體（dodecahedron）平面展開圖來展示六個正五邊形緊密連接（特殊聚集）圖案，進行第一階段比對。進一步地，我們採用基於黃金比例（Golden Ratio）逐層擴展 上面描述的六個正五邊形緊密連接(SPCC)結構，進行更進階的幾何比對(與物理模型推)。在這兩種圖形之間的幾何匹配，我們發展出一套合理的三維模型解釋。若此推論成立，將可能為三維彭羅斯平鋪模型與準晶體結構之間的橋接提供突破性見解。邏輯
就幾何而言，彭羅斯平鋪是一種利用兩種菱形在二維平面中進行空間上的有次序的均勻鋪排方式，就如同正三角形或正方形在平面上的週期鋪排。我們可以輕易地將正方形與正三角形進一步延伸為三維坐標系的基本單元。但要如何將具有五重旋轉對稱的彭羅斯2-D圖轉化為三維模型，則需要更多想像力與圖形建模的推演。
本研究將嘗試給出初步的解釋。我們嘗試將這些結果提升為三維準晶體模型的合理解釋：使用范德瓦爾斯力(van der Waals force)與成核中心(nucleation centers)的觀點，應用於觀察到的準晶體，說明平衡力如何發揮作用及如何運作的。圖中顯示了當較小尺寸的十二面體嵌入較大尺寸的十二面體時，隨著十二面體邊長線性增加，均勻分佈空間和平衡力的概念如何運作 ,說明多個十二面體的空間兩種堆疊方式, 兩種十二面體陣列（排列），第一種是較小的十二面體嵌入較大的十二面體中，并且持续的增大; 第二種是大小相同的十二面體在完全吻合共面內以12個不同方向排列, 除了完全相符吻合的平面之外，十二邊形的中間還有巨大的空隙。如何填補這些空隙是一個有趣的問題。這些密集堆積的幾何排列是否能夠被視為一種「晶體」，將是值得討論的問題。五邊形緊密連接結構,均勻鋪排方式將另行解釋。
在這篇論文中，我們以六個正五邊形緊密連接(SPCC)所構成的等效拓樸結構邏輯，建立了兩種三維正十二面體模型：一種用以解釋彭羅斯平鋪的三維堆疊方式，另一種則對應準晶體的三維原子堆疊結構。我們推論，若這些結構能以均勻有序方式堆疊，則其應當也可被視為晶體結構的一種表現。此外，根據我們的觀察，自然界中的某些晶體生長型態與此12面體的外型相符，這也進一步應合支持了彭羅斯圖案可能在三維空間中實際存在的可能性。這一步很難完全解釋清楚。我們先用3到4種邊長相等的六面體建構一個最小十二面體模型, 再以十二面體表面的五邊形二維結構作為邊界條件，向內延伸該結構。然後再擴展建構第二小十二面體的結構。
Abstract
In 1982, Professor Dan Shechtman first observed a ten-fold electron diffraction pattern, later published in 1984 [Ref. 2], marking the discovery of a fivefold-symmetric structure that defied the classical understanding of crystallography. Despite decades of research, a complete physical interpretation of quasicrystals remains elusive. Notably, a dodecahedral-shaped 3D quasicrystal approximately 2 mm in diameter was reported in 1999 [Ref. 6]. This raises a foundational question: should such structures be classified as true crystals?
Interestingly, as early as 1974 [Ref. 11], Roger Penrose demonstrated that a pair of rhombi (with internal angles of 72° and 36°) can tile an infinite 2D plane aperiodically, producing fivefold rotational symmetry and mirror symmetry, but lacking translational symmetry. This non-periodic yet ordered tiling system, now known as Penrose tiling, has been extensively studied for over five decades. Steinhardt [Ref. 12] was among the first to formally link Penrose tiling with the concept of quasicrystals, highlighting their shared characteristics: aperiodicity and long-range orientational order.
The core of this connection is reflected in the ten-fold symmetry observed in diffraction pattern of transmission electron microscopy (+TEM) images. Over the past 40 years, many scholars have hypothesized that the non-periodicity observed in 3D quasicrystals is fundamentally related to the aperiodic logic of 2D Penrose tilings. This paper aims to further investigate and visualize this connection.
Due to the limitations of computational tools in the late 20th century, most representations of Penrose tiling were confined to small-scale illustrations, often focusing only on local atomic clusters exhibiting fivefold symmetry. Consequently, large-area comparisons between Penrose tiling and atom array distributions observed in HRTEM images remained underexplored.
In our recent work, we propose a novel method to construct large-scale Penrose tiling patterns using six types of geometrically equivalent decagonal units. This approach enables intuitive and flexible construction of aperiodic patterns over large areas. We identified high-magnification HRTEM images of atomic arrangements and compared them with our large-scale Penrose constructions, focusing on the unique pentagon-based cluster patterns found in both.
We first compared six pentagons closely connected (SPCC) pentagon motifs projected from a dodecahedron and then performed larger pattern matching using pentagon clusters (SPCC) scaled by the golden ratio. Through repeated experimentation, we achieved a meaningful consistent pattern between Penrose patterns and real atomic site arrangements. This resulted in a compelling structural comparison between the geometrical logic of 2D tiling and the physical atom array of 2-D quasicrystals.
To extend this analogy into three dimensions, we constructed two 3D dodecahedral models: one representing a Penrose tiling stacking and the other modeling a potential 3D quasi crystalline structure. We propose that these structures, although differing from conventional periodic crystals in stacking behavior, still qualify as ordered crystalline materials based on their spatial logic.
We further explore how 3D quasicrystals may form through Van der Waals interactions and local nucleation mechanisms. These close-packed dodecahedral assemblies, when following specific aggregation rules, could represent a unique form of solid-state crystallinity. If such structures demonstrate long-range order through repeated geometrical motifs, it is reasonable to define them as crystalline in nature.
Moreover, our model raises essential physical questions. For instance, the nucleation centers and potential bonding irregularities in early-stage quasicrystal formation deserve further investigation. Notably, we discovered that arranging five congruent pentagons around a central pentagon (sharing a common origin) leads to all vertices aligning precisely with the centers of type-a decagons—a result that persists even when pentagon sizes follow the golden ratio. This geometric observation provides further insight into atomic-scale organization.
Despite the presence of defects or vacancies common in early-stage quasicrystals, the Pd atom sites identified in HRTEM images showed striking correspondence with our large-scale Penrose pentagon-cluster model, offering experimental support for our theoretical framework.
This study aims to initiate broader discussion on the nature of crystallinity in quasicrystals and the potential of extending 2D geometric logic into the 3D atomic domain. If such stacking sequences are ordered and repeatable, they should be recognized as a new class of crystalline structures.
準晶體的發現過程
現代晶體學始於1912年對晶體進行X射線繞射的實驗（ref.11），並建立起一個長期以來被廣泛接受的典範：所有晶體皆為有序且具週期性的結構，這也成為晶體的基本定義。然而，這一信念在1982年遭遇了挑戰──Dan Shechtman教授首次觀察到具有十重對稱性的電子透射繞射圖樣（如圖1所示），該圖樣顯示出五重旋轉對稱性，並於1984年正式發表（ref. 2）。這種具五重對稱性的新型材料後來被Steinhart等人命名為「準晶體」（ref.3 Steinhart）。
當時，固態物理與晶體學界普遍不接受這一觀察結果，因為在傳統晶體學教科書所列的14種晶體類型中，並不存在這種五重對稱結構。儘管如此，到了1999年，已有研究宣稱發現尺寸約為2毫米的正十二面體形狀的三維準晶體（ref. 4），如圖2所示。這種十二面體可於二維表面展開為12個正五邊形面，其中六個五邊形可視為該幾何體對稱性的一半（如圖3）。
儘管已有此一突破，目前為止，這類準晶體仍無法成長為更大尺寸的晶體。我們尚未完全了解導致此限制的原因，但至今觀察到的準晶體樣本其邊長僅約為2毫米，同時在高解析度穿透式電子顯微鏡（HRTEM）下的影像中，即使是在微米級的尺度內，仍可見大量的缺陷與空位。
準晶體是一種非週期性但具高度有序性的材料，其原子排列呈現出準週期性，因此能夠產生特定對稱性的繞射圖樣。如今，準晶體的合成已非難事，幾乎所有常見金屬合金在簡單製程下皆可製成準晶體，且使用的材料如鋁、鐵、鉻、錳等也相對廉價。過去40年來，學界已發現數百種準週期晶體及其對應的HRTEM原子排列（ref.5-8）。
Steinhart（2009）甚至曾組織探險隊前往西伯利亞，嘗試尋找是否有來自外太空的礦石樣本（ref. 9），他與其合作者在揭示準晶體獨特的數學與物理特性方面貢獻良多，包括對準晶體形成機制的理論建構（ref. 9-10）。準晶體的多樣性如今已為事實──自然界本身就能創造出這類具有複雜對稱性的結構。這種物質曾經在雷擊或原子彈爆炸現場發現的( ref. ) 。因此這是一項橫跨材料科學、凝態物理及幾何學的三維物理問題，值得進一步探討其內部結構與特性。
彭羅斯平鋪的幾何意義
早在1974年，Roger Penrose先生便發現，使用兩種角度分別為72度與36度的菱形，可以無縫地鋪滿整個二維平面（ref. 11）。這種鋪排方式展現出五重旋轉對稱性與鏡像對稱性，但卻缺乏平移對稱性，因此被命名為「彭羅斯平鋪」（Penrose tiling）。彭羅斯平鋪本質上是一個二維空間幾何排列分佈的問題，透過這兩種基本菱形單元，使整個二維平面得以均勻而有秩序地填滿，如同以正方形或正三角形鋪排平面一樣。
在視覺上，我們可以輕易想像，正方形或三角形所構成的圖形可延伸至三維空間，形成立方體或正四面體等。然而，若要將一個具有五重旋轉對稱性的彭羅斯平鋪轉化為三維模型，則需大量的幾何想像力與視覺建構能力，這無疑是一個值得深入探討的挑戰。
Steinhart（ref. 3）是首位將準晶體（Quasicrystals, QCs）與彭羅斯平鋪圖樣建立聯繫的學者。他指出，準晶體與彭羅斯平鋪皆具備非週期性及5重旋轉對稱性，兩者在數學性質上存在深刻的結構相似性, 特別是關於內部結內部結構的特別是關於黃金比例性質，這一關係可透過HRTEM所拍攝的十重對稱性影像進行解析，但是後者準晶體的結構裡面的原子如何鍵合則需要一個物理機制特別的解釋。
過去40年間，學界廣泛相信準晶體與彭羅斯平鋪間存在”深層”的幾何對應。然而，在個人電腦尚未普及、繪圖軟體尚不成熟的時代，彭羅斯平鋪的應用與展現多受到尺寸與工具的限制，僅能在小範圍內進行原子位點(原子位點數少於 100 )的模擬。Stur也還有一篇總結性的文章,多數研究重點集中於局部原子團簇的五重性與結構排列,( Stur 12-14), 2024有一篇總結性的文章(15 ) 。
由於傳統方法難以製作大型彭羅斯拼貼圖樣。使得大面積彭羅斯平鋪圖樣的節點與HRTEM影像中原子位點排列的對應分析受到侷限。隨著現代電腦與影像處理技術的發展，我們製作出大尺寸的二維(無缺陷)圖樣與高解析顯微技術進行結構匹配，從而為三維準晶體模型的建立開創新局。
直到近年來，我們才從六種不同類型的（同構）十邊形（如圖5所示）耦合開始研究，成功構建出大型彭羅斯平鋪圖。這些十邊形拼圖的設計方式，使得我們可以透過不同的排列方式，有效且輕鬆地生成不同樣式的大面積平鋪圖。我們發展出五種不同的耦合方案：(1) 平行四邊形排列、(2) 四向對稱、(3) 週期性排列、(4) 漩渦類型排列、(5) 傳統的五重對稱彭羅斯平鋪（參見參考文獻15–21，Kung）。
前四種耦合方式在嚴格定義上並不具備完整的五重旋轉對稱性或鏡像對稱性，因此嚴格來說並不屬於傳統定義下的彭羅斯平鋪。不過這些方法仍然是極具啟發性的研究，其成果已發表於多篇專業期刊上（ref. 15-21）。
拓樸結構比對
在這些研究中，最值得深入探討的是傳統定義下具有完整五重旋轉對稱性的彭羅斯平鋪（Kung, ref. 13）。依照我們所建立的流程，我們可以輕易地構建出大尺寸、無缺陷且內部結構各異的彭羅斯平鋪圖。必須強調，這些無缺陷的平鋪圖對於深入理解準晶體的結構極為關鍵。尤其在本研究初期，對於大面積彭羅斯平鋪圖的特性仍不清楚時，建立準確無缺陷的平鋪圖是非常重要的步驟。
我們定義「無缺陷」的準則為：所有菱形拼圖必須屬於六種十邊形之一。如果拼圖出現錯誤的接合，就會造成圖樣混亂，並使彭羅斯平鋪圖像進行原子陣列圖比對時產生不確定性。
例如，在圖5中展示了我們製作的其中一幅大型的無缺陷彭羅斯平鋪圖。事實上，我們已進行過多次圖像對比與實驗，但在此不贅述那些不完美的樣本。我們特別選擇了這一個完美的例子作為範例，並將其與高解析度透射電子顯微鏡（HRTEM）所拍攝的大尺寸原子陣列圖（ref. 22）進行比對。其比對邏輯相當直觀易懂。
在圖中，我們以中心點（標記為O）為起點，這個中心是由五個 b 型十邊形組成的，標記為深藍色。接近中心點的位置，有五個 a 型十邊形（綠色），其中心構成了圖中最小的正五邊形，其五個頂點皆落在 a 型十邊形的中心點上。。我們以中心點O為原點， 這些以中心點為基準繪製的6個緊密連結的五邊形，均可視為十二面體的展開面，其中六個面對應到十二面體的一半對稱結構（如圖7所示），這是一種正五面形密合銜接的狀況。在這個平鋪圖中，有20個五邊形頂點，全部對應到 a 型十邊形的中心點，並有另外5個五邊形的中心點也落於a型十邊形的中心，如圖。
依照黃金比例向外繪製三至四層大小遞增的五邊形，全部的五邊形頂點都對應到 a 型十邊形的中心點。這些結構中的五邊形頂點會構成如同「六個面組成」之形狀，其結構中心和原點對齊，最終形成數個尺度不同的十二面體（如圖10所示）。
透過上述的幾何結構，我們成功在HRTEM原子陣列圖中,找到了拓樸結構與彭羅斯平鋪圖所展開的十二面體結構完全一致的圖形（如圖11）。六個密合銜接的五邊形面所對應的20個頂點，剛好落在鈀（Pd）原子在HRTEM圖的具體位置上。此外，經由黃金比例放大後的100個五邊形頂點，也同樣落在Pd原子的正確位置上（雖然正五邊形的中心不一定全部與Pd原子重合）。
圖中以不同的符號標示各自對應。所有Pd原子均位於五邊形頂點的巧合，使我們注意到Pd原子在準晶體成核中的重要性。Pd可能是最重要的一個成長的開始點。Pd原子與正五邊形頂點幾乎100%的匹配說明了Pd原子在準晶體形成中的重要性。
這兩張圖之間的五邊形連接拓樸性質上的高度一致性，明確顯示了二維彭羅斯平鋪與準晶體 HRTEM 原子陣列之間的直接關聯。我們進一步根據這些具特定配置的圖形（正五邊形十二面體）製作了兩種三維模型，以幫助解釋它們三維的對應關係。
3D 彭羅斯平鋪堆疊模型
我們構建了兩組三維模型：一組為三維彭羅斯十二面體，一組為對應的準晶體十二面體。這些結構的建立皆以相同的中心點（藍色點）為基準，並製作出三種大、中、小不同尺寸的空心十二面體作為範例，如圖11a、b、c for 3-D penrose tiles 與圖12a、b、c for 3-D quasi crystal所示。
這三種小不同尺寸的空心模型,彼此可互相嵌套，如同俄羅斯娃nested娃般，最小的可套入中型模型，中型再套入最大型, becoming a larger single crystal。 Even more,這些結構每一個都可視為單一的晶胞（unit cell），如同二維彭羅斯平鋪圖中的晶胞，每個大、中、小不同尺寸十二面體, 皆能自行在不同的方向進行重複堆疊，組成獨特的晶體結構，如圖所示，這種結構在這個12面體,只有一個面在同一個方向上互相接觸(as shown in fig, )，其他面完全不接觸, 12面體之間有很多的縫隙,我們不知道是怎麼一回,我們無法預知任結果會產生什麼樣的晶體,也沒有發現有什麼樣的晶體是像這樣子的。????
上述模型中的彭羅斯3D外殼可視為一種疊加式緊密嵌套結構,就像俄羅斯娃娃。儘管這些模型在連結不同層面時，我們尚未完全確認連接的形狀是否為菱形、連接角度是否為36度或72度，但我們可以初步認定這些點在三維空間中的分布具有一致性與均勻性。這為我們進一步探索真正三維準晶體的結構行為，開啟了一扇新的大門。
三維準晶體 堆疊結構探討
在本研究中，我們提出了一種特殊的大型彭羅斯拼貼結構模型，使我們得以與HRTEM（高解析度穿透式電子顯微鏡）影像中的原子排列進行直接比較，清楚展示出二維彭羅斯拼貼與HRTEM所觀察到的原子陣列之間的高度對應關係。此模型進一步推導出一個合理的半三維幾何彭羅斯拼貼與三維準晶體圖樣模型。
目前我們建立的半三維十二面體彭羅斯拼貼模型僅為堆疊形式，尚未完全達到真實三維的結構表現。然而我們所製作的三維準晶體結構模型，已能明確區分出 大約有四種不同的類型。(四种不同的类型凝聚核心nuccleation centers) 菱面體又稱菱形六面體是一個和立方體相似的三維多面體，但是和立方體不同的是：菱面體的面是由菱形所組成的。菱面體可以視為是邊長全部相等的平行六面體，因此也是一種平行多面體。 菱面體也可以用來定義六方晶系菱面體又稱菱形六面體是一個和立方體相似的三維多面體，但是和立方體不同的是：菱面體的面是由菱形所組成的。
菱面體可以視為是邊長全部相等的平行六面體，因此也是一種平行多面體。 菱面體也可以用來定義六方晶系。。
十二面體的堆疊與形成準晶體
如圖11(d, e, f)所示，這些三維十二面體模型可以個別或交錯堆疊，形成不同的獨立晶體。這一概念與前述的二維晶胞堆疊相似：每一個新生成的晶胞都可延伸出新的晶體排列。
在準晶體中，十二面體（dodecahedron）可以進行階層式堆疊：將較小的十二面體插入較大的十二面體中，並持續往更大的尺度嵌套，每顆十二面體都可與其他形成不同堆疊結構。這種模式與二維彭羅斯拼貼所產生有特定周期的非重複性結構極為相似。
在幾何上，還有一個有序的圖案也可以表達均勻的空間排列，這就是第七同構十邊形，也可以將整個空間鋪成無間隙。由於這是七種同構十邊形之一，因此它可以替換彭羅斯瓷磚中的任何十邊形。對於五重對稱彭羅斯瓷磚中的任意十邊形都可以用第七type十邊形代替，第七種十邊形的中心點都可以視為旋轉中心。这意味着所有第七种十边形的任意中心点都可以作为座标轴原点。
三種不同類型的等邊菱形（表面）立方體，銳角分別為 18、36、72 度，另外兩種不同的等邊菱形有四個正方形。
幾何與物理的差異
與理想晶體僅涉及幾何對稱的均勻分割不同，準晶體堆疊牽涉到層與層之間的原子鍵結問題，是幾何與物理並存的挑戰。準晶體的形成需要合理的電子鍵結安排來支撐五重對稱結構，這一點超出了單純的evenly 幾何分析。
電性偶極與范德瓦耳斯力
準晶體的化學組成compound具有極偶極的特性e.g. Al-Pd, Al-Cu, Al-Pd-Mn,,,，其間的atom電子鍵為可調式的弱作用力，即范德瓦耳斯鍵（Van der Waals force）。特別是，已經注意到范德華分子表現出五邊形錐形頂點，此鍵結允許原子間在多方向上進行自由的偶極鍵結，最終構成五重對稱結構。
例如，在Al-Pd-Mn或Al-Cu-Fe這類合金準晶中，鋁（Al）提供自由電子，過渡金屬如Mn與Fe吸收這些電子，以填補其3d能階，當能階達到10電子（完全填滿）時，系統達到穩定狀態。鋁原子貢獻的電子主要來自3s與3p軌域，形成的Al-Mn、Al-Fe、Al-Pd、Al-Cu化合物皆為偶極鍵結結構，具有多方向上極佳的方向性與對稱性。
值得注意的是，Pd的電子組態為4d¹⁰5s⁰，Cu則為3d⁹4s¹，兩者的3d能階接近填滿，因此可作為弱吸附中心，進一步強化Al原子與其間的偶極鍵結，最終構建出五重對稱結構。
化合物之間的范德華力，類似於水分子之間的范德華力，從而形成五重對稱結構，這是由於化合物之間的范德華力與水分子之間的范德華力相似，從而形成了五重對稱結構。在堆疊模型中，我們不知道原子如何結合（在兩個不同的層之間），甚至不知道 同一層中原子如何相互結合，然而，我們注意到范德華力可能能夠使不同的原子保持均勻分佈或均勻分離，就像水分子一樣，范德華分子趨向於穩定的液態，各層之間黏合在一起。
圖像驗證與原子排列對應
在我們繪製的巨幅彭羅斯拼貼圖像中，對應到HRTEM實際影像後發現，十二面體展開圖中六個相連的五邊形平面展開，與HRTEM中觀察到的特定原子排列高度吻合。特定的五邊形在黃金比例縮放下，其所有頂點均可準確對應到原子位置點，證明兩者間具有直接的幾何與物理連結。例如，鈀原子可被鋁原子包圍而形成穩定團簇，此結構對於化學家來說可能難以接受，但在準晶體的幾何與物理條件下則是合理存在的。
成核中心與成長機制
在HRTEM影像中，我們可觀察到約四個可能的成核起始點。雖然成核過程難以直接實驗觀測，但可藉由觀察準晶體的五重旋轉中心，將其視為原始成核點。這些中心以其團簇為基礎，向外延伸五重對稱結構，直至與其他成核區相遇為止。
以Al-Pd-Mn為例，其中的Al-Mn-Pd團簇僅存在一個自由電子；而Al-Cu-Fe團簇中存在兩個自由電子，顯示這兩種準晶在電子結構上的細微差異。鈀,Cu原子, 很容易與其他原子形成范德華分子，並開始形成十邊形原子團簇陣列。Al-Mn-Pd團簇as unit to be coarsened by near bodies,
十二面體展開與彭羅斯拼貼對應
十二面體由12個正五邊形構成，其展開圖為六個相連五邊形的組合。我們繪製出的彭羅斯拼貼展開圖正好對應此結構，透過大範圍的圖像比對與數據分析，證明了十二面體在準晶體中可以以彭羅斯幾何規律進行擴展，並且具有結構對應的連貫性。
第七類同構十邊形之五重對稱排列與準晶體原子陣列比較
在本文的最後，我們展示了第七類同構十邊形（Type VII Decagon）的五重對稱排列，並將其與準晶體中的原子陣列進行比對，結果顯示兩者之間幾乎可達到一對一的精確匹配。為了提升比對的準確性與可視化效果，我們採用了第七類細長型與膨脹型十邊形所構成的基本排列，並依據不同方式將其進行耦合，形成Penrose拼貼，如圖14所示。
我們所採用的比對影像擷取自一幅大範圍的HRTEM原子陣列圖像，如圖15(a)、(b)、(c)、(d)所示。該圖像經過特殊色差處理，使原始的原子點位置更加清晰可辨，極適合進行結構比對與分析。該圖呈現的是兩種不同原子結構的對比結果。
幾何結構與空間鋪排的可行性第七類磁磚和嵌套十二面體
第七類十邊形在幾何排列上展現出極高的秩序性，其圖樣可用於均勻鋪排整個空間，且無間隙重疊。作為七種同構十邊形之一，它可以有效取代五重對稱彭羅斯拼貼中的任意十邊形，實現不重複且對稱的拼貼效果。換句話說，第七類十邊形的任一中心點皆可視為旋轉中心或作為座標系統的原點，從而提供更具彈性的鋪排方式與對應模型。
在幾何上，還有一個有序的圖案也可以表達均勻的空間排列，這就是第七同構十邊形，也可以將整個空間鋪成無間隙。由於這是七種同構十邊形之一，因此它可以替換彭羅斯瓷磚中的任何十邊形。對於五重對稱彭羅斯瓷磚中的任意十邊形都可以用第七type十邊形代替，第七種十邊形的中心點都可以視為旋轉中心。这意味着所有第七种十边形的任意中心点都可以作为座标轴原点。
我們非常幸運地發現了與此第七類十邊形幾乎完全吻合的準晶體HAADF STEM 原子排列結構，並成功將其對應關係視覺化呈現。As shown in fig.
彭羅斯瓷磚結構框架特性與原子可用的擺設位置
在進一步擴展他的框架時，引入了一種新的幾何結構：同構的第七型彭羅斯瓷磚，由五個耦合在一起的 e 型十邊形組成。這種獨特的配置是透過嚴格的「磁磚清潔」過程得出的，由於這個新的十邊形與其他六個十邊形具有相同的外部特徵，因此使用同構（共形）原理來取代所有十邊形，從而得到具有單一十邊形結構的五重對稱彭羅斯式框架的。它產生了一種平移對稱結構，可以作為在準晶體材料中定位擺置原子的框架，使用這種第七種類型的瓷磚，我們構建了五個個大小各異的十二面體，每個十二面體都使用相同的基本圖案（第七型彭羅斯瓷磚）進行平鋪。圖 1 顯示了這些嵌套形式，它們類似於俄羅斯娃娃：最小的十二面體位於次小的十二面體內部，而次小的十二面體又位於較大的十二面體內部，以此類推。每個 3D 形式都保持一致的二維表面圖案，強調了瓷磚在平面和體積環境中的多功能性。這五個三維十二面體的邊長呈線性增加。
我們曾經嘗試（並且正在努力）用4個平行的菱形體（六面體）構建一個十二面體，但是內部結構太複雜，短時間內無法完成。
這種視覺化為分層材料設計開啟了令人興奮的可能性。雖然層間瓷磚之間的精確角度關係（無論是 36°、72° 還是其他）仍在研究中，
所謂同構的的第七類（Type VII）十邊形，由五個耦合在一起的 e 型十邊形組成。具有10個外部頂點與11個內部位置，共計21個原子可能位置。相較於傳統十邊形結構增加了5個內部位置，這些新增位置在比對準晶體原子排列時扮演關鍵角色。它們提供了更高的原子擺置可用的靈活度，用以描述原子實際可能存在的結構位置，是建立高精(確的)度原子模型的理想工具。特別 是 對於 精確的解釋彭羅斯瓦片頂點與原子陣列 點 匹配 的 模型 .
因此，第七類十邊形不僅在幾何學上符合五重對稱準晶體的拼貼邏輯，其內部的原子配置也與實際觀測到的HADDF STEM圖像高度吻合，為準晶體的結構建模與原子行為分析提供了更明確的理論依據,, 與視覺 佐
空間均勻劃分concept詮釋 與準晶體鑲嵌的幾何構想 c.kung 意涵
Penrose 鋪排對稱性的再詮釋與其 在準晶結構設計上的應用
我們已經證明，所有的彭羅斯拼砌都可以由六種不同的十邊形耦合成，並且所有結構化的十邊形都可以被其他十邊形所取代。
傳統上，Penrose 鋪排被認為展現出五重旋轉對稱性（fivefold rotational symmetry），即整體圖樣在以幾何中心為軸旋轉 72° 後，仍能與原始圖樣重合。然而，此種對稱性僅在旋轉中心精確位於鋪排的幾何中心時才得以成立；若中心稍有偏移，例如位於圖樣邊緣、頂點或其他十邊形中心位置(other decagons)，則旋轉後72°後的圖樣,即無法與回復原始圖樣重合回復原始圖樣 的位置，(seems(need fig. explaination)導致對稱性破壞。這種現象顯示出傳統 Penrose 鋪排在對稱性詮釋上的侷限性，也使其作為準晶結構建模工具的適用性受到質疑。
Isomorphic translation, two tiles translated a distance of a unit distance,
進一步觀察指出，即使在偏移中心的情況下進行旋轉（如 18°、36°、54° 等角度），圖樣雖表面上失去對稱性，卻能經由特定的「單元轉換」（tile transformation）過程回復至無缺陷的鋪排狀態。This kind rotation is the same as translation,,
這種可還原性提示了圖樣中可能潛藏著某種深層的等構對應關係（isomorphic equivalence），挑戰了傳統僅以幾何旋轉對稱為判準的準晶解釋架構。
為因應此觀察，我們提出一種全新的結構單元 —— 第七類等構十邊形單元（seventh-type isomorphic decagonal tile）。該單元由五個 e 型十邊形對稱排列構成，中央則由十片內角為 36° 的長菱形密合拼接而成。與傳統 Penrose 鋪排仰賴多種拼圖單元與嚴格拼接規則的方式不同，此新型單元具備高度對稱性與獨立鋪排能力，可在不產生結構缺陷的前提下，構建具類 Penrose 特徵的非週期性鋪排圖樣。
進一步地，當這類十邊形單元經過所謂的「拼圖淨化處理」（tile cleaning）後，即可實現準平移對稱性（quasi-translational symmetry），即在整體平面中以無缺陷形式重複排列，成為建構準晶原子架構的潛力基元。我們以此單元發展出三種不同尺度的嵌套十二面體（nested dodecahedra）模型，其每一面皆由五個 e 型十邊形組成一致的原子圖樣，並呈現「俄羅斯娃娃式（matryoshka-like）」的層級結構。值得注意的是，儘管此嵌套系統展現出幾何上的高對稱性，但各層之間的精確旋轉角度仍不明確，目前尚無法確定其相對夾角是否為 36°、72° 或其他數值。
我們推測層與層之間的連結可能採取最短距離配對原則，即原子與原子間的耦合符合最小空間距離與穩定性需求，從而提升結構的物理合理性與穩定性。此外，我們指出，重新定義十邊形單元的對稱中心至幾何中心而非拼圖接點，對於從圖樣轉換為具物理意涵的原子結構模型至關重要。若對稱中心定義錯誤，將可能導致整體準晶模型在晶體學詮釋上的失準，進而喪失理論建構的有效性。
幾何鋪排的立體延伸與材料科學潛能
單位立方體有三個方向（x,y,z），沿著（1,1,0）方向拉伸或收縮可以產生無數個六面菱形體，六個面中有四個是正方形，菱形的銳角可以是18度、54度、36度、72度、90度，其中36度和72度的角可以形成著名的彭羅斯拼貼。沿著（1,1,1）方向拉伸或收縮可以產生無數個等六面的六面體，任何單一六面體都可以被鑲嵌以覆蓋整個三維空間而沒有間隙。然而，將兩個或多個六面體無縫地鑲嵌在一起以覆蓋整個三維空間是很難想像的。在這種複雜的想像中，我們還是希望能夠做出三維的彭羅斯圖，因為現實世界中，存在著十二面體形狀的晶體，而十二面體的每個面都是五邊形。
從幾何學的角度出發，空間的均勻劃分可透過正方形、等邊三角形或長方形等基本圖形進行，這些形狀僅能產生單一類型的週期格子結構，並容易拓展至三維空間。然而，菱形是有方向性的，若使用單一類型的菱形，雖可於二維平面構建無限多種單元格與非週期排列方式，但要進一步拓展至三維空間並完全填滿，則需面對極高的構形困難與理論挑戰。
當引入兩種具有內角 72° 與 36° 的銳角菱形（即彭羅斯菱形）時，可組構六種不同形態的十邊形，進而依多種方式鋪滿整個平面，產生具有五重旋轉對稱性的 Penrose 鑲嵌結構。這類結構展現出高度的非週期性，亦成為解釋準晶原子排列特性的典型範式。更重要的是，這些二維菱形鋪排不僅可構成平面結構，其圖樣亦可對應至三維正十二面體面上的排列，為「從平面轉化至立體」提供幾何基礎。此種轉換開啟一項值得深入探討的幾何問題：二維 Penrose 圖樣是否可作為三維立體結構的構件，進而實現填滿整個空間的準晶模型？如果能將此邏輯延伸至三維，將大幅拓展我們對準晶空間填充能力與原子架構合理性的理解。同時，這些由菱形構成的結構圖樣亦可視為具對稱性的原子排列晶格，當以特定圖樣（例如綠色標記的十邊形中心）進行觀察，可呈現出平移對稱或旋轉對稱的原子分布模式，進一步彰顯其在材料設計上的應用潛力。
Pd, Cu 元素在這些結構中普遍扮演穩定化角色。在準晶材料的實驗研究中，對薄膜與表面結構的觀察提供了驗證理論模型的重要途徑。透過掃描穿隧顯微鏡（STM）對 Tsai 型準晶近似物進行系統性觀察，揭示其表面結構與對稱性表現。
應用高角度環形暗場（HAADF）成像技術
這些實驗結果與我們提出的第七類十邊形單元理論模型形成互補呼應。它們共同強調幾何對稱中心、無缺陷耦合與原子叢集穩定性在準晶建構中的核心地位。我們認為，透過整合新型鋪排邏輯、準平移對稱原則與嵌套結構概念，有望為準晶材料的理論與應用開創全新路徑，尤其在表面功能材料、光子晶體、熱穩定塗層與摩擦控制等高端應用領域展現潛力
準晶薄膜與表面結構的實驗呼應
兩個不同的彭羅斯瓦片或兩個相同的瓦片 A 和 B 總是可以組合成一個新的組合瓦片，而重疊區域可以用兩種不同的方案來修復，一種方案是按照瓦片 A 的重疊區域來擬合修復瓦片，另一種方案是按照瓦片 B 的重疊區域來擬合修復瓦片，而這個區域實際上也是一個同構區域，就像前面提到的其他一些例子重疊。Two different Penrose tiles or two identical tiles A and B can always be coupled into a new combined tile, and the overlapping area can be repaired using two different schemes. One scheme is to fit the repaired tile according to the overlapping area of tile A, and the other scheme is to fit the repaired tile according to the overlapping area of tile B. This area is actually also an isomorphic area, just like some of the other examples mentioned above.
Two different Penrose tiles or two identical tiles A and B can always be combined and form a new combined tile, and the overlapping area can always be repaired by two different solutions, one follows the overlapped region of tile A scheme, another one follows over lapped B scheme, and this overlapped area can be also in fact, an isomorphic area, as the some other examples mentioned earlier.證。
附錄與補充說明空間均勻劃分與準晶體鑲嵌的幾何構想 c.kung OK
氫鍵（Hydrogen Bond）
氫鍵是一種特定的偶極-偶極作用力，發生於部分正電的氫原子與具有孤對電子的部分負電原子之間，例如氧（O）、氟（F）或氮（N）。氫鍵的強度取決於參與鍵結的原子團的化學性質及其幾何排列方式。[引用需要]
范德瓦耳斯力（Van der Waals Force）
范德瓦耳斯力是由於原子或分子內部瞬時電子分佈不均所產生的瞬間偶極，進而與鄰近分子的偶極產生吸引力。當一端電子密度集中時會呈現負電，而另一端則呈現正電。雖然單一范德瓦耳斯力的作用很弱，但由於活性位點與受質之間存在大量此類作用，其總和可能對分子間的鍵結穩定性產生重要影響。[引用需要]
準晶成核與十二面體結構堆積問題
目前尚未解決的主要問題之一為準晶體的成核機制。十二面體結構,其幾何中心可能成為準晶體的潛在成核點。我們推測可能存在四種不同的成核中心。然而，關鍵問題仍在於：的成核後,準晶體是如何成長的?原子究竟是如何鍵結在一起形成準晶結構的？
研究關鍵點與案例說明：
- 無缺陷的彭羅斯平鋪圖對於與 HRTEM原子排列圖像的點對點比較至關重要，尤其是 a 型十邊形的位置與方向。稍後我們將透過具體範例說明其重要性。若無法實現精準匹配，將無法驗證我們的比較方法的正確性，因而也不會相信我們的研究結果。
- 多種具有不同化學組成的準晶體，其HRTEM 圖像也呈現出多樣化的原子排列。圖 4 顯示的是 WIKI 上最常被引用的一張 HRTEM 彩色處理圖，圖中黑點代表的是鈀（Pd）原子。透過這些黑點的連線，我們繪製出一種十二面體結構在平面上的投影圖。
- 在 Pd 合金準晶體中，正十二面體是由 12 個正五邊形組成的正多面體，具有 20 個頂點、30 條稜邊、160 條對角線，其施萊夫利符號為 {5,3}，與正二十面體互為對偶體。它屬於正四面體對稱性的五角十二面體特殊形式。另一種特殊形式為具有正八面體對稱性的卡塔蘭多面體——菱形十二面體。這些結構在拓撲學上皆與正十二面體等價。正十二面體同時也是截頂五方偏方面體的特例，其在四維空間的對應體為正一百二十胞體。
準晶磁性與電子傳輸性質
關於單晶粒五重對稱準晶合金 R-Mg-Zn（其中 R = Y、(Y₁₋ₓGdₓ)、(Y₁₋ₓTbₓ)、Tb、Dy、Ho、Er）的磁性與電子傳輸性質之研究，可參考以下文獻：
I. R. Fisher, K. O. Cheon, A. F. Panchula, P. C. Canfield, M. Chernikov, H. R. Ott, K. Dennis, Magnetic and transport properties of single-grain R-Mg-Zn icosahedral quasicrystals, Phys. Rev. B, 59, 308 (1999).
初級同構晶胞與單元結構認知
單元同構性（Unit Isomorphy）研究的初步目標，是理解大面積平鋪圖中的幾何結構特徵。這項挑戰來自於晶體與準晶體之間結構不可通約性的本質，它們在空間中的延伸方式無法直接對應。
成核過程通常難以在實驗中直接觀察，但我們可將觀察到的準晶五重對稱中心視為可能的成核核心，並以該處的原子團簇為其原始結構。原子便會以五倍旋轉對稱的方式向外延展，最終彼此粗化連接，形成更大尺度的準晶結構。
References
- Kung, C.Y. (2021). The Formation of the Periodic Translational Penrose Tiles (Crystal) and Their Corresponding Unit Cells. Mega Journal of Case Reports, 7, 2001–2008.
- Kung, C.Y. (2024). The Formation of the Periodic Translational Penrose Tiles (Crystal) and Their Corresponding Unit Cells. Unpublished manuscript.
- Kung, C.Y. (2024). The Definition of Unlimited, Pentagonal Shape Penrose Tile That Is Defect-Free. Journal of Chemical Engineering and Catalysis, 3, 1–9.
- Kung, C.Y. (2024). Conjugated (Complementary) Coupling for Two Penrose Tiles Pair and Their Elementary Unit Cell for Translation Tiles. Journal of Chemical Engineering and Catalysis, 3, 1–11.
- Shechtman, D., Blech, I., Gratias, D., & Cahn, J.W. (1984). Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry. Physical Review Letters, 53(20), 1951–1953.
- Kung, C.Y. (2025). Tessellation of Unlimited Equilateral Rhombuses. Unpublished manuscript.
- Kung, C.Y. (2025). The Formation of Symmetric and Asymmetric Binary-Decagon Penrose Tiles by Conjugate Coupling Process. Unpublished manuscript.
- Kung, C.Y. (2025). Pseudo Chemistry with Decagonal Tiling and Six Decagons Coexisting Without Any Defect. Unpublished manuscript.
- Kung, C.Y. (2025). Unlimited Number of Periodic Decagonal Tiling with a 2-D Atom Sites Quasi-Crystal Model. Research in Progress.
- Kung, C.Y. (2025). Formation and Detailed Internal Structure of Four-Way Symmetrically Translated Decagonal Tiles. Research in Progress.
- Kung, C.Y. (2025). spd Exchange Model and Decagonal Symmetry Formation in Quasicrystal Alloys. Research Note.
范德華分子是由原子或分子組成的弱結合複合體，它們透過分子間吸引力（例如范德華力）或氫鍵結合在一起。 [1]該名稱起源於 20 世紀 70 年代初，當時在分子束微波光譜中經常觀察到穩定的分子團簇。
Recent Advances in Quasicrystal Research
Ron Lifshitz
First published: 09 December 2024 https://doi.org/10.1002/ijch.202412000
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我們採用了6種不同類型的3-D六面菱形磚, equal-sided rhombic hexahedron等邊菱形六面體，在三維空間中建造了2種無間隙的半3-D彭羅斯瓷磚，並解釋了瓷磚的平移對稱特徵。我們現在也嘗試一個具有內部結構的十二面體結構模型。這組立體六面鑽石磚不能被想像為透過平移建構晶體的傳統單元，我們也嘗試模擬特殊週期結構中原子和團簇的排列。越來越明顯的是,這個 4 個單元形成框架可能是接近準晶體結構的最合適的方法,這個框架是描述相關結構的最合理的方法，。它們已經成為一個豐富的跨學科領域，涵蓋數學、物理、化學和材料科學。這就帶來了額外的挑戰，即如何連結不同的研究團體..
準晶體研究的核心是描述其相對於兩個神奇數字「5」和戈登比率的複雜幾何和拓撲性質的數學方法邏輯。電子化學和其他物理特性的獨特物理模型，以及分析其獨特而複雜性質的邏輯手段，必然與兩個神奇的數字「5」和戈登比率相關。与这个两个数字相关的简单的几何就是我们研究的重心 ,,
由於新觀察到的彭羅斯拼貼與原子陣列特徵之間的相關性，使我們相信菱形可以構成三維或至少半三維 quasi crystal 結構。The newly observed correlation between the Penrose tiling and the atomic array features leads us to believe that the rhombuses can form three-dimensional or at least semi-three-dimensional quasi crystal structures.
We have used 6 different types of 3-D six-sided diamond tiles (equal-sided rhombic hexahedron) to construct 2 gapless semi-3-D Penrose tiles in 3D space and explained the translational symmetry characteristics of the tiles. We are now also trying to model a dodecahedral structure with internal structure，This set of three-dimensional six-sided diamond bricks cannot be imagined as traditional units that construct crystals through translation. We also try to simulate the arrangement of atoms and clusters in special periodic structures. This 4-unit-forming framework is probably the most appropriate way to approach the quasi-crystalline structure. The core of quasicrystal research is the mathematical methods ls that describe their complex geometric and topological properties relative to the two magic numbers "5" and the Gordon ratio. The unique physical model of the chemical and other physical properties of electrons, and the logical means of analyzing their unique and complex properties, are necessarily related to the two magic numbers "5" and the Gordon ratio. My research provides the latest information on the current state of quasicrystal research, emphasizing the progress made in the past two years in my group and the challenges facing the future. This topic reflects the diversity and interdisciplinary nature of quasicrystal research, and provides a good entry point and some deep insights into the theoretical and practical foundations of non-periodic long-range order.
正則晶胞平鋪是一種幾何框架，它使用四種基本多面體（稱為正則晶胞）來模擬二十面體準晶體和相關週期近似物中的原子和團簇的堆積。越來越明顯的是，這個框架是描述相關結構的最合理的方法，
the quas準平移對稱平鋪,
,圖中顯示了一個實際的例子…第七個十邊形的中心用綠色標示。這些綠點可以算是二維無限二維的旋轉中心，在旋轉72度不變之後，也展現了它們的平移特性。A practical example,,, is shown in the figure... The center of the 7th decagon is marked in green. These green points can be counted as the rotation centers of the 2-D infinite 2-D and also reveal their translation characteristics after a rotataional 72 degrees invariance..i translational symmetric tiling 定義；準平移對稱平鋪,,
Non-uniform periodicity of dodecahedron arrays: 十二面體陣列的非均勻週期性：
As shown in the figure, unit cells of dodecahedrons of different sizes can be arranged in different ways, just like the random arrangement of rhombuses.
如圖所示，不同大小的十二面體的晶胞可以有不同的排列方式，就像菱形的隨機排列一樣，this is why 以非週期性但長程有序結構1-5為特徵的材料我們準備了一塊十二面體單晶，其排布採用改良的彭羅斯平鋪法，以單一十邊形（第七個十邊形）為單位平鋪二維空間，然後以單位距離（ ）堆疊，同時在平移方向上傾斜72度，形成彭羅斯二維晶體陣列，這是一種半三維晶體，這種疊體中還隱藏著一個疊體晶體陣列...。
We prepared a dodecahedron single crystal, the arrangement of which adopted the improved Penrose tiling method, tiling the two-dimensional space with a single decagon (the seventh decagon) as the unit, then stacking with a unit distance ( ), while tilting 72 degrees in the translation direction to form a Penrose 2-D crystal array, a semi-3-D crystal, this stacking type form is also hidening a dodecahedron crystal.
體（）的研究不斷發展，為理解超越傳統晶體學的複雜有序系統提供了新的挑戰和機會。它們已經成為一個豐富的跨學科領域，涵蓋數學、物理、化學和材料科學。這就帶來了額外的挑戰，準晶體研究的核心是描述其複雜幾何和拓撲特性的數學工具、捕捉其獨特電子和其他物理特性的物理模型， 1我的研究提供了準晶體研究現狀的最新信息，重點介紹了我團隊過去兩年取得的進展以及未來面臨的挑戰。這個主題反映了準晶體研究的多樣性和跨學科性，並為非週期長程有序的理論和實踐基礎提供了一個良好的切入點和一些深刻的見解。
準晶體的數學 and 準晶體視覺化呈現等
自從準晶體首次在實驗製備的金屬合金中發現以來，其電子性質一直引起人們的普遍興趣。準晶體可具有5次或6次以上的旋轉對稱性，由此帶來了與週期晶體不同的結構和物理性質。然而，這種對稱性並不能直接產生一種類似晶體能帶理論的解析方法來計算能譜，因此多數研究都藉助數值模擬。除了一維情況下的一些例子外，準晶體的電子態還沒有很好的表徵。
一般認為準晶體的本徵態不僅包含擴展態和局域態，而且還有自相似的臨界態，相應的能譜是奇異連續譜，具有多分形性質[ 1 ] - [ 7 ] 。能譜與準晶體對稱性之間的關係並不明顯，因此對特定模型的數值計算往往更有效。但對於一維準晶體來說，利用其簡單的替代規則可以對能譜甚至波函數進行解析計算。 Fibonacci鏈作為一維準晶體的標準模型，在過去的幾十年中得到了廣泛的研究[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] 。其研究意義在於，一維Fibonacci鍊是一個與三維二十面體準晶體密切相關的準週期點陣。因此，對準晶體的電子性質的研究自然地從一維Fibonacci鏈的本徵態的研究開始，其電子能譜和波函數的多分形特徵最能體現出原子結構中的準週期序
近年來，我們對準晶體和非週期長程有序的數學基礎的理解取得了巨大進展。然而，其中大部分僅出現在技術數學文獻中。本期特刊刊登了幾篇評論，其目的是用非數學家能夠理解的語言來解釋這些新的理解。
Baake、Gähler 和 Mazáč6 在他們的評論《論斐波那契平鋪及其現代後果》中，採用一維斐波那契鍊作為非週期序的典型模型，以介紹和闡明一些新的數學概念和結果。他們的評論回顧了產生斐波那契平舖的方法背後的數學，例如替換和高維嵌入。這些都被融入到對相關性和衍射譜理論的理解的進步的描述中，從而形成了動力系統方法，+
這對非週期序數學最近的許多進展起到了重要作用。透過一些例子和二維的推廣，本評論是研究長程非週期序性質的一個很好的起點。
Figure caption ，這一信念在1982年遭遇了挑戰──Dan Shechtman教授首次觀察到具有十重對稱性的電子透射繞射圖樣（如圖1所示），該圖樣顯示出五重旋轉對稱性，並於1984年正式發表（ref. 2）。這種具五重對稱性的新型材料後來被Steinhart等人命名為「準晶體」（ref.3 Steinhart）。
當時，固態物理與晶體學界普遍不接受這一觀察結果，因為在傳統晶體學教科書所列的14種晶體類型中，並不存在這種五重對稱結構。儘管如此，到了1999年，已有研究宣稱發現尺寸約為2毫米的正十二面體形狀的三維準晶體（ref. 4），如圖2所示。這種十二面體可於二維表面展開為12個正五邊形面，其中六個五邊形可視為該幾何體對稱性的一半（如圖3）
Fig 1 Dan Shechtman教授首次觀察到具有十重對稱性的電子透射繞射圖樣（如圖1所示）
Fig 2 1999年，已有研究宣稱發現尺寸約為2毫米的正十二面體形狀的三維準晶體
Fig 3 這種十二面體可於二維表面展開為12個正五邊形面，其中六個五邊形可視為該幾何體對稱性的一半.... 這是一種正五面形密合銜接的狀況。在這個平鋪圖中，有20個重要的五邊形頂點，全部對應到 a 型十邊形的中心點，
Fig 4
六種不同類型的（同構）十邊形（如圖5所示）
Fig 5 The planar representation of the dodecahedron in the Penrose plane, only composed of six regular pentagons tightly connected
A diagram of the structure of a dodecahedron in the Penrose plane, with six regular pentagons tightly connected. 彭羅斯平面中十二面體的平面表示，這裡僅由六個緊密連接的正五邊形組成
Fig 6 The planar representation of the dodecahedron atom array of HRTEM, here only composed of six regular pentagons tightly connected.
HRTEM原子陣列中十二面體的平面表現結構圖，這裡由六個正五邊形緊密連接而成密合
銜接的正五面形十二面體的展開面，其中六個面對應到十二面體的一半對稱結構（如圖7所示）
（如圖11）HRTEM原子陣列圖中,找到了與彭羅斯平鋪圖所展開的十二面體結構完全一致的圖形（如圖11）。六個密合銜接的五邊形面所對應的20個頂點，剛好落在鈀（Pd）原子在HRTEM圖的具體位置上.
It is very coincidental that all the Pd atoms are located at the most important and critical points that are vertices of pentagons on the atom array of HRTEM images.
非常巧合的是，所有Pd原子都位於HRTEM影像原子陣列上最重要且最關鍵的點，也就是五邊形的頂點。
， fig four potential nucleation for Al-Pd-Cu quasi-Crystal,
Fig Calculated structure of a (H2O)100 icosahedral water cluster.,
Fig. 2: Structure model of the cluster. Blue, green and red circles correspond to Al, Cu and Ir atoms, respectively. Fig. 1: HAADF-STEM image of AlCuIr decagonal quasicrystal. Yellow circles indicate clusters with a diameter of ~2 nm. The image shows only Cu and Ir atomic columns
