從彭羅斯平鋪的二維幾何到解釋三維準晶體物理問題的邏輯
Chung Yuan Kung
摘要
1982年，Dan Shechtman 教授首次觀察到具有十方向對稱的電子透射衍射圖像（如圖1所示），並於1984年正式發表（參考文獻2）。這種展現五重旋轉對稱性的晶體結構，被稱為「準晶體（quasicrystal）」，是一個困擾物理界超過40年的難題，至今仍未被完全理解。事實上，早在1999年（參考文獻5）便有報導指出，研究人員已成功發現尺寸約2毫米的十二面體三維準晶體（參考文獻6）。那麼，我們是否該稱其為「固態晶體」呢？
早在1974年（參考文獻11），彭羅斯（Penrose）先生便提出一種使用兩種不同角度（36°與72°）的菱形瓷磚進行無縫鋪排的方法。這種具備五重旋轉對稱性與鏡像對稱，但缺乏平移對稱性的平鋪方式，後來被命名為「彭羅斯平鋪」。Steinhardt（參考文獻12）是第一位提出準晶體與Penrose平鋪圖具有密切關聯的學者。他指出兩者皆具有非週期性且有序的旋轉對稱結構，而這一特性可以透過高解析度電子顯微鏡（HRTEM）觀察到的十方向對稱衍射圖樣來理解。
因此，過去40年間，許多研究者一直相信三維準晶體的非週期結構與二維的彭羅斯平鋪之間存在深刻的幾何與物理關聯。這種關聯性是否能成為揭開準晶體物理機制的關鍵，值得深入探究。但是在上世紀末期，個人電腦尚未普及，繪圖軟體亦不成熟，使得彭羅斯平鋪的應用與可視化受到侷限。當時多數研究僅能集中於局部原子團簇的五重旋轉特性與原子排列的局部結構分析，限制了大範圍的原子位點排列在HRTEM下與彭羅斯圖樣之間的系統性比較。
雖然彭羅斯瓷磚已被發現超過五十年，但是並不能夠很容易的畫出大圖案。約在三年前，我們從六種不同的十邊形（同構）結構耦合開始，成功建構出可大面積鋪排的彭羅斯平鋪圖。透過比對多張電子顯微鏡下的原子陣列影像與我們設計的大型彭羅斯圖，我們專注於五邊形特殊聚合圖案的幾何對應關係。經過反覆測試與調整，我們最終取得了具有高度一致性的圖像比對結果，並值得在此報導。
我們使用正十二面體（dodecahedron）平面展開圖來展示六個正五邊形特殊聚合圖案，進行第一階段比對。進一步地，我們採用基於黃金比例（Golden Ratio）逐層擴展的五邊形聚合結構，進行更進階的幾何比對與物理模型推導。在這兩種圖形之間的幾何匹配，我們發展出一套合理的三維模型解釋邏輯。若此推論成立，將可能為三維彭羅斯平鋪模型與準晶體結構之間的橋接提供突破性見解。
就幾何而言，彭羅斯平鋪是一種利用兩種菱形在二維平面中進行有序鋪排的方式，就如同正三角形或正方形在平面上的週期鋪排。我們可以輕易地將正方形與正三角形進一步延伸為三維坐標系的基本單元。但要如何將具有五重旋轉對稱的彭羅斯2-D圖轉化為三維模型，則需要更多想像力與圖形建模的推演。本研究將嘗試給出初步的解釋。我們嘗試將這些結果提升為三維準晶體模型的合理解釋：使用范德瓦爾斯力（Van der Waals force）與成核中心（nucleation centers）的觀點，說明多個十二面體的空間堆疊方式。這些密集堆積的幾何排列是否能夠被視為一種「晶體」，將是值得討論的問題。
在這篇論文中，我們以正五邊形聚合所構成的等效拓樸邏輯，建立了兩種三維正十二面體模型：一種用以解釋彭羅斯平鋪的堆疊方式，另一種則對應準晶體的原子堆疊結構。我們推論，若這些結構能以有序方式堆疊，則其應當也可被視為晶體結構的一種表現。此外，根據我們的觀察，自然界中的某些晶體生長型態與此幾何模型相符，這也進一步支持了彭羅斯圖案可能在三維空間中實際存在的可能性。
Abstract
In 1982, Professor Dan Shechtman first observed a ten-fold electron diffraction pattern, later published in 1984 [Ref. 2], marking the discovery of a fivefold-symmetric structure that defied the classical understanding of crystallography. Despite decades of research, a complete physical interpretation of quasicrystals remains elusive. Notably, a dodecahedral-shaped 3D quasicrystal approximately 2 mm in diameter was reported in 1999 [Ref. 6]. This raises a foundational question: should such structures be classified as true crystals?
Interestingly, as early as 1974 [Ref. 11], Roger Penrose demonstrated that a pair of rhombi (with internal angles of 72° and 36°) can tile an infinite 2D plane aperiodically, producing fivefold rotational symmetry and mirror symmetry, but lacking translational symmetry. This non-periodic yet ordered tiling system, now known as Penrose tiling, has been extensively studied for over five decades. Steinhardt [Ref. 12] was among the first to formally link Penrose tiling with the concept of quasicrystals, highlighting their shared characteristics: aperiodicity and long-range orientational order.
The core of this connection is reflected in the ten-fold symmetry observed in high-resolution transmission electron microscopy (HRTEM) images. Over the past 40 years, many scholars have hypothesized that the non-periodicity observed in 3D quasicrystals is fundamentally related to the aperiodic logic of 2D Penrose tilings. This paper aims to further investigate and visualize this connection.
Due to the limitations of computational tools in the late 20th century, most representations of Penrose tiling were confined to small-scale illustrations, often focusing only on local atomic clusters exhibiting fivefold symmetry. Consequently, large-area comparisons between Penrose tiling and atomic-site distributions observed in HRTEM images remained underexplored.
In our recent work, we propose a novel method to construct large-scale Penrose tiling patterns using six types of geometrically equivalent decagonal units. This approach enables intuitive and flexible construction of aperiodic patterns over large areas. We identified high-magnification HRTEM images of atomic arrangements and compared them with our large-scale Penrose constructions, focusing on the unique pentagon-based cluster patterns found in both.
We first compared six aggregated pentagon motifs projected from a dodecahedron and then performed advanced pattern matching using pentagon clusters scaled by the golden ratio. Through repeated experimentation, we achieved a meaningful overlay between Penrose patterns and real atomic site arrangements. This resulted in a compelling structural comparison between the geometrical logic of 2D tiling and the physical structure of 3D quasicrystals.
To extend this analogy into three dimensions, we constructed two 3D dodecahedral models: one representing a Penrose tiling stacking logic and the other modeling a potential 3D quasicrystalline structure. We propose that these structures, although differing from conventional periodic crystals in stacking behavior, still qualify as ordered crystalline materials based on their spatial logic.
We further explore how 3D quasicrystals may form through Van der Waals interactions and local nucleation mechanisms. These close-packed dodecahedral assemblies, when following specific aggregation rules, could represent a unique form of solid-state crystallinity. If such structures demonstrate long-range order through repeated geometrical motifs, it is reasonable to define them as crystalline in nature.
Moreover, our model raises essential physical questions. For instance, the nucleation centers and potential bonding irregularities in early-stage quasicrystal formation deserve further investigation. Notably, we discovered that arranging five congruent pentagons around a central pentagon (sharing a common origin) leads to all vertices aligning precisely with the centers of type-a decagons—a result that persists even when pentagon sizes follow the golden ratio. This geometric observation provides further insight into atomic-scale organization.
Despite the presence of defects or vacancies common in early-stage quasicrystals, the Pd atom sites identified in HRTEM images showed striking correspondence with our large-scale Penrose pentagon-cluster model, offering experimental support for our theoretical framework.
This study aims to initiate broader discussion on the nature of crystallinity in quasicrystals and the potential of extending 2D geometric logic into the 3D atomic domain. If such stacking sequences are ordered and repeatable, they should be recognized as a new class of crystalline structures.
準晶體的發現過程
現代晶體學始於1912年對晶體進行X射線繞射的實驗（ref. 1），並建立起一個長期以來被廣泛接受的典範：所有晶體皆為有序且具週期性的結構，這也成為晶體的基本定義。然而，這一信念在1982年遭遇了挑戰──Dan Shechtman教授首次觀察到具有十重對稱性的電子透射繞射圖樣（如圖1所示），該圖樣顯示出五重旋轉對稱性，並於1984年正式發表（ref. 2）。這種具五重對稱性的新型材料後來被Steinhart等人命名為「準晶體」（ref. Steinhart）。
當時，固態物理與晶體學界普遍不接受這一觀察結果，因為在傳統晶體學教科書所列的14種晶體類型中，並不存在這種五重對稱結構。儘管如此，到了1999年，已有研究宣稱發現尺寸約為2毫米的正十二面體形狀的三維準晶體（ref. 6），如圖2所示。這種十二面體可於二維表面展開為12個正五邊形面，其中六個五邊形可視為該幾何體對稱性的一半（如圖3）。
儘管已有此一突破，目前為止，這類準晶體仍無法成長為更大尺寸的晶體。我們尚未完全了解導致此限制的原因，但至今觀察到的準晶體樣本其邊長僅約為2毫米，同時在高解析度穿透式電子顯微鏡（HRTEM）下的影像中，即使是在微米級的尺度內，仍可見大量的缺陷與空位。
準晶體是一種非週期性但具高度有序性的材料，其原子排列呈現出準週期性，因此能夠產生特定對稱性的繞射圖樣。如今，準晶體的合成已非難事，幾乎所有常見金屬合金在簡單製程下皆可製成準晶體，且使用的材料如鋁、鐵、鉻、錳等也相對廉價。過去40年來，學界已發現數百種準週期晶體及其對應的HRTEM原子排列（ref. 3–5）。
Steinhart（2009）甚至曾組織探險隊前往西伯利亞，嘗試尋找是否有來自外太空的礦石樣本（ref. 7），他與其合作者在揭示準晶體獨特的數學與物理特性方面貢獻良多，包括對準晶體形成機制的理論建構（ref. 8, 9）。準晶體的多樣性如今已為事實──自然界本身就能創造出這類具有複雜對稱性的結構，因此這是一項橫跨材料科學、凝態物理及幾何學的三維物理問題，值得進一步探討其內部結構與特性。
彭羅斯平鋪的幾何意義
早在1974年，Roger Penrose先生便發現，使用兩種角度分別為72度與36度的菱形，可以無縫地鋪滿整個二維平面（ref. 11）。這種鋪排方式展現出五重旋轉對稱性與鏡像對稱性，但卻缺乏平移對稱性，因此被命名為「彭羅斯平鋪」（Penrose tiling）。彭羅斯平鋪本質上是一個二維空間幾何分配的問題，透過這兩種基本菱形單元，使整個二維平面得以均勻而有秩序地填滿，如同以正方形或正三角形鋪排平面一樣。
在視覺上，我們可以輕易想像，正方形或三角形所構成的圖形可延伸至三維空間，形成立方體或正四面體等。然而，若要將一個具有五重旋轉對稱性的彭羅斯平鋪轉化為三維模型，則需大量的幾何想像力與視覺建構能力，這無疑是一個值得深入探討的挑戰。
Steinhart（ref. 12）是首位將準晶體（Quasicrystals, QCs）與彭羅斯平鋪圖樣建立聯繫的學者。他指出，準晶體與彭羅斯平鋪皆具備非週期性及重旋轉對稱性，兩者在數學性質上存在深刻的結構相似性，這一關係可透過HRTEM所拍攝的十重對稱性影像進行解析，但是後者的結構需要一個物理機制。
過去40年間，學界廣泛相信準晶體與彭羅斯平鋪間存在深層的幾何對應。然而，在個人電腦尚未普及、繪圖軟體尚不成熟的時代，彭羅斯平鋪的應用與展現多受到尺寸與工具的限制，僅能在小範圍內進行原子位點的模擬。
多數研究重點集中於局部原子團簇的五重性與結構排列，使得大面積彭羅斯平鋪圖樣與HRTEM影像中原子位點排列的對應分析受到侷限。隨著現代電腦與影像處理技術的發展，我們製作出大尺寸的二維圖樣與高解析顯微技術進行結構匹配，從而為三維準晶體模型的建立開創新局。
直到近年來，我們才從六種不同類型的（同構）十邊形（如圖5所示）耦合開始研究，成功構建出大型彭羅斯平鋪圖。這些十邊形拼圖的設計方式，使得我們可以透過不同的排列方式，有效且輕鬆地生成不同樣式的大面積平鋪圖。根據我們的研究，我們發展出五種不同的耦合方案：(1) 平行四邊形排列、(2) 四向對稱、(3) 週期性排列、(4) 漩渦類型排列、(5) 傳統的五重對稱彭羅斯平鋪（參見參考文獻13–17，Kung）。
前四種耦合方式在嚴格定義上並不具備完整的五重旋轉對稱性或鏡像對稱性，因此嚴格來說並不屬於傳統定義下的彭羅斯平鋪。不過這些方法仍然是極具啟發性的研究，其成果已發表於多篇專業期刊上（ref. 6–11）。
在這些研究中，最值得深入探討的是傳統定義下具有完整五重旋轉對稱性的彭羅斯平鋪（Kung, ref. 13）。依照我們所建立的流程，我們可以輕易地構建出大尺寸、無缺陷且內部結構各異的彭羅斯平鋪圖。必須強調，這些無缺陷的平鋪圖對於深入理解準晶體的結構極為關鍵。尤其在本研究初期，對於大面積彭羅斯平鋪圖的特性仍不清楚時，建立準確無誤的平鋪圖是非常重要的步驟。我們定義「無缺陷」的準則為：所有菱形拼圖必須屬於六種十邊形之一。如果拼圖出現錯誤的接合，就會造成圖樣混亂，並使圖像比對產生不確定性。
例如，在圖5中展示了我們製作的其中一幅大型的無缺陷彭羅斯平鋪圖。事實上，我們已進行過多次圖像對比與實驗，但在此不贅述那些不完美的樣本。我們特別選擇了這一個完美的例子作為範例，並將其與高解析度透射電子顯微鏡（HRTEM）所拍攝的大尺寸原子陣列圖（ref. 13）進行比對。其比對邏輯相當直觀易懂。
在圖中，我們以中心點（標記為O）為起點，這個中心是由五個 b 型十邊形組成的，標記為深藍色。接近中心點的位置，有五個 a 型十邊形（綠色），其中心構成了圖中最小的正五邊形。我們以中心點O為原點，依照黃金比例向外繪製三至四層大小遞增的五邊形，其五個頂點皆落在 a 型十邊形的中心點上。
這些以中心點為基準繪製的五邊形，均可視為十二面體的展開面，其中六個面對應到十二面體的一半對稱結構（如圖X所示），這是一種正五面形密合銜接的狀況。在這個平鋪圖中，有20個重要的五邊形頂點，全部對應到 a 型十邊形的中心點，並有另外5個五邊形的中心點也落於a型十邊形的中心，如圖。
若依照黃金比例持續增大的五邊形結構延伸下去，這些結構中的五邊形頂點會構成如同「六個面組成」之形狀，其結構中心和原點對齊，最終形成數個尺度不同的十二面體（如圖10所示）。
多層次準晶體十二面體模型的構建
透過上述的幾何結構，我們成功在HRTEM原子陣列圖中，找到了與彭羅斯平鋪圖所展開的十二面體結構完全一致的圖形（如圖11）。六個密合銜接的五邊形面所對應的20個頂點，剛好落在鈀（Pd）原子在HRTEM圖的具體位置上。此外，經由黃金比例放大後的100個頂點，也同樣落在Pd原子的正確位置上（雖然正五邊形的中心不一定全部與Pd原子重合）。圖中以不同的符號標示各自對應。
這兩張圖之間的高度一致性，明確顯示了二維彭羅斯平鋪與準晶體 HRTEM 原子陣列之間的直接關聯。我們進一步根據這些具特定配置的圖形（正五邊形十二面體）製作了兩種三維模型，以幫助解釋它們三維的對應關係。
3D 彭羅斯平鋪堆疊模型
我們構建了兩組三維模型：一組為三維彭羅斯十二面體，一組為對應的準晶體十二面體。這些結構的建立皆以相同的中心點（藍色點）為基準，並製作出三種大、中、小不同尺寸的空心十二面體作為範例，如圖11a、b、c與圖12a、b、c所示。
這三種模型彼此可互相嵌套，如同俄羅斯娃娃般，最小的可套入中型模型，中型再套入最大型。這些結構每一個都可視為單一的晶胞（unit cell），如同二維彭羅斯平鋪圖中的晶胞，每個大、中、小模型皆能進行重複堆疊，組成獨特的晶體結構，如圖所示。
上述模型中的彭羅斯3D外殼可視為一種簡單的疊加式結構。儘管這些模型在連結不同層面時，我們尚未完全確認連接的形狀是否為菱形、連接角度是否為36度或72度，但我們可以初步認定這些點在三維空間中的分布具有一致性與均勻性。這為我們進一步探索真正三維準晶體的結構行為，開啟了一扇新的大門。
三維準晶體結構探討
在本研究中，我們提出了一種特殊的大型彭羅斯拼貼結構模型，使我們得以與HRTEM（高解析度穿透式電子顯微鏡）影像中的原子排列進行直接比較，清楚展示出二維彭羅斯拼貼與HRTEM所觀察到的原子陣列之間的高度對應關係。此模型進一步推導出一個合理的半三維幾何彭羅斯拼貼與三維準晶體圖樣模型。
目前我們建立的半三維十二面體彭羅斯拼貼模型僅為堆疊形式，尚未完全達到真實三維的結構表現。然而我們所製作的三維準晶體結構模型，已能明確區分出四種類型。
十二面體的堆疊與形成準晶體
如圖11(d, e, f)所示，這些三維十二面體模型可以個別或交錯堆疊，形成不同的獨立晶體。這一概念與前述的二維晶胞堆疊相似：每一個新生成的晶胞都可延伸出新的晶體排列。
在準晶體中，十二面體（dodecahedron）可以進行階層式堆疊：將較小的十二面體插入較大的十二面體中，並持續往更大的尺度嵌套，每顆十二面體都可與其他形成不同堆疊結構。這種模式與二維彭羅斯拼貼所產生的非重複性結構極為相似。
幾何與物理的差異
與理想晶體僅涉及幾何對稱的均勻分割不同，準晶體堆疊牽涉到層與層之間的原子鍵結問題，是幾何與物理並存的挑戰。準晶體的形成需要合理的電子鍵結安排來支撐五重對稱結構，這一點超出了單純的幾何分析。
電性偶極與范德瓦耳斯力
準晶體的化學組成具有極偶極的特性，其間的電子鍵為可調式的弱作用力，即范德瓦耳斯鍵（Van der Waals force）。此鍵結允許原子間在多方向上進行自由的偶極鍵結，最終構成五重對稱結構。
例如，在Al-Pd-Mn或Al-Cu-Fe這類合金準晶中，鋁（Al）提供自由電子，過渡金屬如Mn與Fe吸收這些電子，以填補其3d能階，當能階達到10電子（完全填滿）時，系統達到穩定狀態。鋁原子貢獻的電子主要來自3s與3p軌域，形成的Al-Mn、Al-Fe、Al-Pd、Al-Cu化合物皆為偶極鍵結結構，具有極佳的方向性與對稱性。
值得注意的是，Pd的電子組態為4d¹⁰5s⁰，Cu則為3d⁹4s¹，兩者的3d能階接近填滿，因此可作為弱吸附中心，進一步強化Al原子與其間的偶極鍵結，最終構建出五重對稱結構。
圖像驗證與原子排列對應
在我們繪製的巨幅彭羅斯拼貼圖像中，對應到HRTEM實際影像後發現，十二面體展開圖中六個相連的五邊形平面展開，與HRTEM中觀察到的特定原子排列高度吻合。特定的五邊形在黃金比例縮放下，其所有頂點均可準確對應到原子位置點，證明兩者間具有直接的幾何與物理連結。例如，鈀原子可被鋁原子包圍而形成穩定團簇，此結構對於化學家來說可能難以接受，但在準晶體的幾何與物理條件下則是合理存在的。
成核中心與成長機制
在HRTEM影像中，我們可觀察到約四個可能的成核起始點。雖然成核過程難以直接實驗觀測，但可藉由觀察準晶體的五重旋轉中心，將其視為原始成核點。這些中心以其團簇為基礎，向外延伸五重對稱結構，直至與其他成核區相遇為止。
以Al-Pd-Mn為例，其中的Al-Mn-Pd團簇僅存在一個自由電子；而Al-Cu-Fe團簇中存在兩個自由電子，顯示這兩種準晶在電子結構上的細微差異。
十二面體展開與彭羅斯拼貼對應
十二面體由12個正五邊形構成，其展開圖為六個相連五邊形的組合。我們繪製出的彭羅斯拼貼展開圖正好對應此結構，透過大範圍的圖像比對與數據分析，證明了十二面體在準晶體中可以以彭羅斯幾何規律進行擴展，並且具有結構對應的連貫性。
第七類同構十邊形之五重對稱排列與準晶體原子陣列比較
在本文的最後，我們展示了第七類同構十邊形（Type VII Decagon）的五重對稱排列，並將其與準晶體中的原子陣列進行比對，結果顯示兩者之間幾乎可達到一對一的精確匹配。為了提升比對的準確性與可視化效果，我們採用了第七類細長型與膨脹型十邊形所構成的基本排列，並依據不同方式將其進行耦合，形成Penrose拼貼，如圖14所示。
我們所採用的比對影像擷取自一幅大範圍的HRTEM原子陣列圖像，如圖15(a)、(b)、(c)、(d)所示。該圖像經過特殊色差處理，使原始的原子點位置更加清晰可辨，極適合進行結構比對與分析。該圖呈現的是兩種不同原子結構的對比結果。
幾何結構與空間鋪排的可行性
第七類十邊形在幾何排列上展現出極高的秩序性，其圖樣可用於均勻鋪排整個空間，且無間隙重疊。作為七種同構十邊形之一，它可以有效取代五重對稱彭羅斯拼貼中的任意十邊形，實現不重複且對稱的拼貼效果。換句話說，第七類十邊形的任一中心點皆可視為旋轉中心或作為座標系統的原點，從而提供更具彈性的鋪排方式與對應模型。
我們非常幸運地發現了與此第七類十邊形幾乎完全吻合的準晶體HRTEM原子排列結構，並成功將其對應關係視覺化呈現。
結構特性與原子可用位置
所謂的第七類（Type VII）十邊形，具有10個外部頂點與11個內部位置，共計21個原子可能位置。相較於傳統十邊形結構增加了5個內部位置，這些新增位置在比對準晶體原子排列時扮演關鍵角色。它們提供了更高的靈活度與解析度，用以描述原子實際可能存在的結構位置，是建立高精度原子模型的理想工具。
因此，第七類十邊形不僅在幾何學上符合五重對稱準晶體的拼貼邏輯，其內部的原子配置也與實際觀測到的HRTEM圖像高度吻合，為準晶體的結構建模與原子行為分析提供了更明確的理論依據與視覺佐證。
附錄與補充說明
氫鍵（Hydrogen Bond）
氫鍵是一種特定的偶極-偶極作用力，發生於部分正電的氫原子與具有孤對電子的部分負電原子之間，例如氧（O）、氟（F）或氮（N）。氫鍵的強度取決於參與鍵結的原子團的化學性質及其幾何排列方式。[引用需要]
范德瓦耳斯力（Van der Waals Force）
范德瓦耳斯力是由於原子或分子內部瞬時電子分佈不均所產生的瞬間偶極，進而與鄰近分子的偶極產生吸引力。當一端電子密度集中時會呈現負電，而另一端則呈現正電。雖然單一范德瓦耳斯力的作用很弱，但由於活性位點與受質之間存在大量此類作用，其總和可能對分子間的鍵結穩定性產生重要影響。[引用需要]
準晶成核與十二面體結構堆積問題
目前尚未解決的主要問題之一為準晶體的成核機制。當四個正十二面體彼此堆積時，其幾何中心可能成為準晶體的潛在成核點。我們推測可能存在四種不同的成核中心。然而，關鍵問題仍在於：原子究竟是如何鍵結在一起形成準晶結構的？
研究關鍵點與案例說明：
- 無缺陷的彭羅斯平鋪圖對於與 HRTEM 原子排列圖像的點對點比較至關重要，尤其是 a 型十邊形的位置與方向。稍後我們將透過具體範例說明其重要性。若無法實現精準匹配，將無法驗證我們的比較方法的正確性，因而也不會相信我們的研究結果。
- 多種具有不同化學組成的準晶體，其 HRTEM 圖像也呈現出多樣化的原子排列。圖 4 顯示的是 WIKI 上最常被引用的一張 HRTEM 彩色處理圖，圖中黑點代表的是鈀（Pd）原子。透過這些黑點的連線，我們繪製出一種十二面體結構在平面上的投影圖。
- 在 Pd 合金準晶體中，正十二面體是由 12 個正五邊形組成的正多面體，具有 20 個頂點、30 條稜邊、160 條對角線，其施萊夫利符號為 {5,3}，與正二十面體互為對偶體。它屬於正四面體對稱性的五角十二面體特殊形式。另一種特殊形式為具有正八面體對稱性的卡塔蘭多面體——菱形十二面體。這些結構在拓撲學上皆與正十二面體等價。正十二面體同時也是截頂五方偏方面體的特例，其在四維空間的對應體為正一百二十胞體。
準晶磁性與電子傳輸性質
關於單晶粒五重對稱準晶合金 R-Mg-Zn（其中 R = Y、(Y₁₋ₓGdₓ)、(Y₁₋ₓTbₓ)、Tb、Dy、Ho、Er）的磁性與電子傳輸性質之研究，可參考以下文獻：
I. R. Fisher, K. O. Cheon, A. F. Panchula, P. C. Canfield, M. Chernikov, H. R. Ott, K. Dennis, Magnetic and transport properties of single-grain R-Mg-Zn icosahedral quasicrystals, Phys. Rev. B, 59, 308 (1999).
初級同構晶胞與單元結構認知
單元同構性（Unit Isomorphy）研究的初步目標，是理解大面積平鋪圖中的幾何結構特徵。這項挑戰來自於晶體與準晶體之間結構不可通約性的本質，它們在空間中的延伸方式無法直接對應。
成核過程通常難以在實驗中直接觀察，但我們可將觀察到的準晶五重對稱中心視為可能的成核核心，並以該處的原子團簇為其原始結構。原子便會以五倍旋轉對稱的方式向外延展，最終彼此粗化連接，形成更大尺度的準晶結構。
References
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From Penrose tiling to quasi crystal –
a directed evidence of a large area correction between Penrose tiling to quasi crystal
Chung-Yuan Kung (last name Kung)
Direct evidence for the 2-D Penrose tiling frame of 3-D quasicrystals.
Chung-Yuan Kung, Han-wen Liu, Chu-Yang Chao, Marlachi Warneke*
Department. of Electrical Engineering, National Chung Hsing University. E-mail Address: cykung@dragon.nchu.edu.tw.
*UCLA, Chemistry Dept.
Penrose tiling is 2-D geometric framework whose internal structure can change infinitely, whereas a quasicrystal is a 3-Dl phenomenon that reaching stability in growth but has not final yet stabilized. Penrose tiling is a mathematical problem of triangular geometry drawing, while quasicrystal HRTEM images are a physical problem that is inconsistent with the understanding of traditional crystal structures. The only correlation between the two problems is that they both have five-fold rotationally symmetric internal structures. How to prove that these two issues of different dimensions are correctly related to each other is a big problem that requires logical explanation.
In this study, a detailed analysis of high-resolution transparent electron microscopy (HRTEM) images of Al-Pd-Mn quasicrystals was performed, using color difference technology techniques to distinguish surface arrays of different characteristic atomic sites on the same image (comparing the size and position correlation of HRTEM and Penrose tiling atomic points as the first step of analysis). Four basic atomic clusters with five-fold mirror symmetry were identified, three of which can be regarded as nucleation centers that coarsening with the fourth atomic clusters respectively to form a larger atomic cluster, eventually showing coupled Penrose tiling characteristics.
The spd(f)3-d(4f) electronic sublevel filling model was used to explain the possible formation of van der Waals molecules, resulting in five-fold symmetric atomic clusters with weak van der Waals bond characteristics, and explaining the 3-D liquid behavior of quasicrystals.
A coupled Penrose tile diagram was created to point-to-point match to the atomic point array of the Al-Pd-Mn HRTEM photograph. Apparently, a Penrose tile framework (lattice) structure does exist in the atomic array of a quasicrystal. A simple slanted-shift rotational stacking model is proposed to fabricate 3D (liquid) quasicrystals with relatively weak bonds between adjacent layers.
BIOGRAPHY
Dr. Kung graduated from National Tsing Hua University 1969 and 1972 with BS and MS degree in physics, university of Alabama in Huntsville 1974 in physics and Northwestern university 1979 in material science. Post doctor at Georgia Tech and research science at Lawrence laboratory. With about 6 years experiences in US industries Fairchild and National Semiconductor and work for ITRI (Taiwan) since 1987 and worked for National Chung-Hsing University electric engineering department since 1991 to 2016 (retired).
The van der Waals radius, rw, According to the arrangement of electrons in Al, Fe, and Pd metal atoms, Al a
toms are the main electron contributors. Each Al contributes 3 electrons (1 from the 3p energy level and 2 from the 3s energy level). Fe and Mn atoms are Basic electron absorber, atom. Fe (tetravalent vacancy) and Mn (pentavalent vacancy)..However, the absorption of electron from the 4 s level may lower down more energy.
•根據Al、Fe、Pd金屬原子中電子的排列，Al原子是主要的電子貢獻者。每個Al貢獻3個電子（1個來自3p能階，2個來自3s能階）。 Fe和Mn原子是鹼性電子吸收劑原子。 Fe（四價空位）和 Mn（五價空位）.然而，從4s能階吸收電子可能會降低更多的能量。Several initial Van der Waal molecules such as , Al-Mn,Al-Al, Al-Pd, Al-Pd-Mn, were fromed at very begining, then four nuclei, that are 5-fold and mirror symmetric were genereated on 2-D plane. In fact, these nuclei were three D atom clusters, with several extra Al atoms on up layer and down layer plane.
幾個初始范德華分子，如 Al-Mn、Al-Al、Al-Pd、Al-Pd-Mn，是從一開始就形成的，然後在 2- 上生成 4 個 5 倍且鏡像對稱的核。平面。事實上，這些原子核是三個D原子簇，在上層和下層平面上還有幾個額外的Al原子
Dr. Kung graduated from National Tsing Hua University 1969 and 1972 with BS and MS degree in physics, university of Alabama in Huntsville 1974 in physics and Northwestern university 1979 in material science. Post doctor at Georgia Tech and research science at Lawrence laboratory. With about 6 years experiences in US industries Fairchild and National Semiconductor and work for ITRI (Taiwan) since 1987 and worked for National Chung-Hsing University electric engineering department since 1991 to 2016 (retired).
